実験する

次の\(2\)つの条件\(\mathrm{(i),(ii)}\)をみたす自然数\(n\)について考える.

\(\mathrm{(i)}~\)\(n\)は素数ではない.
\(\mathrm{(ii)}~\)\(l,m\)を\(1\)でも\(n\)でもない\(n\)の正の約数とすると,必ず\[|l-m|\leq 2\]である.このとき,次の問いに答えよ.

    1. \(n\)が偶数のとき,\(\mathrm{(i),(ii)}\)をみたす\(n\)をすべて求めよ.
    2. \(n\)が\(7\)の倍数のとき,\(\mathrm{(i),(ii)}\)をみたす\(n\)をすべて求めよ.
    3. \(2\leq n \leq 1000\)の範囲で,\(\mathrm{(i),(ii)}\)をみたす\(n\)をすべて求めよ.

(大阪大)

うーん/(^o^)\
なんかよくわからないので,実験してみます。

(考え方)

\(\textbf{1.}\)
偶数\(2,4,6,8,\cdots\)を順に調べてみます。

するとどうやら,\(n\)が\(10\)以降だと適するものが現れないのでは?と予想できます。そこで,「\(n\geq 10\)ならば\(n\)は\(\mathrm{(i),(ii)}\)を満たさない」という命題の証明を試みます。実際,\(n=2k~(k\geq 5)\)とおくと,\(2\)と\(k\)は\(n(=2k)\)の\(1\)でも\(n\)でもない正の約数ですが,\[|k-2|=k-2\geq 5-2 =3\]となり\((\mathrm{ii})\)を満たしません。

これで\(1.\)の答えは\(4,6,8\)のみであることが分かりました。

\(\textbf{2.}\)
これも\(1.\)と同様に考えてみます。ただし\(n\)が偶数の場合は\(1.\)ですでに調べているので,これを除いて調べていきます:

すると\(n\)が\(63\)以降だと適するものが現れないのでは?と予想できます。そこで「\(n\geq 63\)ならば\(n\)は\(\mathrm{(i),(ii)}\)を満たさない」という命題の証明を試みると:

\(n=7k~(k\geq 9)\)とおく.\(k=9\)とき,\(n=63\)より正の約数は\(1,3,7,9,21,63\)だから\((\mathrm{ii})\)を満たさない.\(k \geq 11\)のとき,\(7\)と\(k\)は\(n(=7k)\)の\(1\)でも\(n\)でもない正の約数だが,\[|k-2|=k-2\geq 11-2 =9\]となり\((\mathrm{ii})\)を満たさない.

これで\(2.\)の答えは\(35\)と\(49\)のみであることが分かりました。

\(\textbf{3}.\)
上と同じように考えれば,\(n\)が\(3\)の倍数のとき,\(5\)の倍数のときも同じように\(\mathrm{(i),(ii)}\)を満たす\(n\)が簡単に見つかる気がします。もしそうであれば,結局\(2,3,5,7\)の倍数についてはすべて調べ上げたことになるので,調べるべき残りの\(n\)は(\(\mathrm{(i)}\)より\(n\)は素数でないことに注意すれば)\(11\)以上の素因数からなる合成数のみ調べればよいことが分かります(エラトステネスのふるい)。また,その合成数の因数の個数に着目すれば,因数の個数が\(1\)個のとき素数になるから\(\mathrm{(i)}\)を満たさず,因数の個数が\(3\)個以上のときは最小でも\(11^{3}=1331\)となり\(1000\)を超えてしまうことから,(素)因数の個数は\(2\)個であることが分かります。さらに,\(37 \times 37 =1369>1000\)より,\(37\)以降の素数については考える必要はありません。以上の考察から以下のように結論できます:

\(n\)が\(3\)の倍数の場合
\(2,7\)の倍数のときはすでに調べてあり,また\(5\)の倍数の場合はこのあと調べるのでこれらを除いて調べると

求める\(n\)は\(9\)のみであることが分かる(証明は上と同様なので割愛).

\(n\)が\(5\)の倍数の場合

求める\(n\)は\(15\)と\(25\)のみであることが分かる(証明割愛).
あとは素因数が\(11\)以上で\(31\)以下であり,かつその個数が\(2\)個である合成数のみを調べればよい.


するとそれは(\(\mathrm{(ii)}\)に注意して)\[11^2,13^2,17^2,19^2,23^2,29^2,31^2,11\times13,17\times19,29\times 31\]すなわち\[121,169,289,361,529,841,961,143,323,899\]のみであることがわかる.以上により求める\(n\)は\[4,6,8,9,15,25,35,49,121,143,169,289,323,361,529,841,899,961\]となる.

(考え方終わり)

既知の解法にはまらないとき,あるいは既知の解法に帰着しないとき(=何をすればいいのか見通しが立たないとき),「とりあえず実験してみて,予想し,それを証明する」という姿勢はしばしば有効な気がします。(少なくとも泥臭く手を動かすだけで\(2.\)までは答えを導ける!)

tex備忘録

自分のためのノート(emathを置く場所)

  1. コマンドプロンプトを開く(Windowsキー+r→cmdと入力,enter)
    C:\Users\*****
  2. *****の下にtexmfというフォルダを作る
  3. コマンドプロンプトで
    kpsewhich –expand-path=$TEXMF
    と入力しenter
  4. ;の数+1=1ならそこを★とおき,6.へ
    ;の数+1>1ならコマンドプロンプトで
    kpsewhich –expand-path=$TEXMFHOME
    と入力しenter
  5. 返ってくるもの(3.の結果でみた〇;△;□のどれか)を★とおく
  6. コマンドプロンプトで
    kpsewhich –progname=platex jarticle.cls
    と入力しenter
  7. …/texmf/☆☆☆/☆☆☆/base/…
    または
    …/texmf-dist/☆☆☆/☆☆☆/base/…
    と表示される
  8. 置き場所は
    ★/☆☆☆/☆☆☆/misc/emath
    (フォルダmisc,emathは新規に作成する)
  9. ここにsty.zipを解凍して得られるファイルをすべて置く

合同式の種々の公式

\(a\equiv b\pmod p,~c\equiv d\pmod p\)のとき,\[a\pm c \equiv b \pm d\pmod p,~ac \equiv bd\pmod p,~a^n \equiv b^n\pmod p\]が成り立つことは教科書や問題集等でよく証明されているので,ここではあまり紹介されないもののよく使う次の式を証明してみます。前半は片方のみに法の整数倍を加えるという\(=\)の世界では決して許されなかった計算が許されるという性質,後半は逆に\(\equiv\)の世界では禁じ手であった「両辺を割る」という操作ががある仮定のもとに限り許されるという面白い性質です。

\(a \equiv b\pmod p\)のとき,\[a\equiv b+pk \pmod p~(k\in \mathbb{Z})\]

証明

仮定により\(a-b=pk\)であるから
\begin{align*}
a-(b+kp)&=pk+b-(b+kp)\\
&=pk+kp=p(k+1)
\end{align*}よって\[a\equiv b+pk \pmod p~(k\in \mathbb{Z})\]

証明終

\(\gcd(c,p)=1\)(\(c\)と\(p\)が互いに素)のとき,
\[ac \equiv bc \pmod p\Longrightarrow a \equiv b \pmod p\]

証明

仮定により\[ac-bc=pk \Longleftrightarrow (a-b)c=pk\]右辺が\(p\)の倍数であるから左辺も\(p\)の倍数.ここで,\(c\)が\(p\)の倍数(\(c=pk^{\prime}\))であると仮定すると,\(c(=pk^{\prime})\)と\(p\)が互いに素であることに反する(合同式の定義により\(p\)は\(2\)以上のの整数であることに注意).したがって\(a-b\)が\(p\)の倍数,すなわち\[a\equiv b \pmod p\]
証明終

★P106

…その場合,\((W_{\lambda},\leq _{\lambda}),(W_{\lambda^{\prime}},\leq _{\lambda^{\prime}})\)のいずれか一方は他方の切片,したがって部分順序集合であるから…

 

松坂先生の集合・位相入門,理解できない箇所はところどころあるけどここもその一つ。周回後のレベルアップした(であろう)自分に期待するんだけど読むたびにやっぱりなんか釈然としない。多分しょーもないことなんだろうけど…。色々考えた末,以下の理解に落ち着いた:

理解

たとえば\((W_{\lambda},\leq _{\lambda})\)が\((W_{\lambda^{\prime}},\leq _{\lambda^{\prime}})\)の切片であるとする.切片\[(W_{\lambda^{\prime}},\leq _{\lambda^{\prime}})\langle a \rangle(= \{x|x \in W_{\lambda^{\prime}},x \leq_{\lambda^{\prime}} a\})\]これ自体は(あくまで\(W^{\prime}\)の元から順序\(\leq_{\lambda^{\prime}}\)で\(a\)よりも小さい元を集めたものに過ぎないから)ただの\(W_{\lambda^{\prime}}\)の部分集合であり,順序は定義されていない.しかし,一般に,順序集合\(A\)の空でない任意の部分集合\(M\)は,順序が与えれれていなくても,「\(A\)における順序を\(M\)上に制限した」と考えることで\(A\)と同じ順序が与えれられる(※).したがって,部分集合\((W_{\lambda^{\prime}},\leq _{\lambda^{\prime}})\langle a \rangle\)は順序集合\[((W_{\lambda^{\prime}},\leq _{\lambda^{\prime}})\langle a \rangle , \leq_{\lambda^{\prime}})\]となる.これが\((W_{\lambda},\leq _{\lambda})\)に等しいから\[\leq_{\lambda^{\prime}}=\leq _{\lambda}\]となる.

理解終

※は89,90ページの部分順序集合についての記述から判断したもののちょっと自信ない。
…まあ,さしあたりこの理解でいいや^^;

★P263(問題4の一部)

\[\forall \epsilon >0 \exists \delta >0[d^{\prime\prime}(x,y) \Longrightarrow d(x,y)<\epsilon]\]を示せ.ただし,\(d^{\prime\prime}(x,y):=\min\{1,d(x,y)\}\)

証明

与えられた\(\epsilon\)が\(\epsilon < 1\)であれば\(\delta = \epsilon\)と定め,\(\epsilon \geq 1\)であれば\(\delta = \delta^{\prime} < 1 (\leq \epsilon)\)と定めればよい.以下,それを確かめる.

\(\epsilon < 1\)のとき:
\(d^{\prime\prime}(x,y):=\min\{1,d(x,y)\}<\epsilon \).\(1 \leq d(x,y)\)とすれば\(\min\{1,d(x,y)\}=1<\epsilon\)となり矛盾.したがって\(1>d(x,y)\)である.このとき,\(\min\{1,d(x,y)\}=d(x,y)<\epsilon\)

\(\epsilon \geq 1\)のとき:
\(d^{\prime\prime}(x,y):=\min\{1,d(x,y)\}<\delta^{\prime}(<1)\).\(1 \leq d(x,y)\)とすれば\(\min\{1,d(x,y)\}=1<\delta^{\prime}<1\)となり矛盾.したがって\(1>d(x,y)\)である.このとき\(\min\{1,d(x,y)\}=d(x,y)<\delta^{\prime}<1\leq \epsilon\)より\(d(x,y)<\epsilon\)

証明終

多分簡単な問題だと思うんですけど任意に与えられた正数\(\epsilon\)をそのままで\(\delta\)探しして結構時間がかかってしまった…

これ記法や表現を適当に変えれば高校生向けの論理の問題に出来る気がします。

英語学習

英語を勉強しています。もちろんこれが初めての英語学習ではなく,遡ればDUO3.0で英文ごと英単語を覚え,富田一彦先生や薬袋善朗先生の本で文法を学んできました。文法は数学と一緒で一度理解してしまうとなかなか忘れない。実際,適当な文を読んでみても文の構造を判断するのに大きく困ることはほぼない(=読める)のでひとまず安心。では単語は…?というとこれもなかなか忘れていない!10代の若いときにがっつり記憶しておくってほんと大事!…とはいえその単語力もせいぜい大学受験レベルなので,リハビリを兼ねつつももっと上の語彙力を身に付けたいと思い,教材に選んだのがZ会の単語帳『Core 1900』。

まあ勉強,とは言っても,進度は一日150ワードくらいの文章を一日一つ,気分次第で二つというゆるいペース。ゆるくないとほんと続かないので!(その代わり毎日欠かさず)。でも,そのゆるさのおかげで難なく一周終わり(5/5時点)。ゆるい勉強ってやっぱいい。

今から2週目に入りつつ,同時進行で同じくZ会の『Opinion 1200』を進めようとおもいます。英文の構造を調べたりそれを大きな声で音読するのは数学の息抜きとしてもいい感じです。

数学記号の読み方

\[\overrightarrow{a}\]を「エーベクトル」と読む生徒が少なくありません。もちろん,これは学校でそのように習ったからでしょう。実際,僕が学校で教えていたときもそのように読む先生がいました。しかし,例えば「\(f(x)\)」を「かんすうエフエックス」,「\(n\in \mathbb{N}\)」を「しぜんすうエヌ」などと読むのに,\(\overrightarrow{a}\)だけ「エーベクトル」と読むのはおかしくはないだろうか?すごく違和感。まあ,結局伝わればいいわけだし間違いではないのかもしれないけど…ただ読み方ひとつでいろいろ察しちゃうのである程度気を遣った方がいいと個人的に思います。先々の数学へ違和感なく接続するためにも。

他にも,\[f'(x)\]は大抵「エフダッシュエックス」と読むひとがほとんどだと思うけどこれは「エフプライムエックス」と読むべき。本来\(\prime\)は「プライム」という記号であり,「ダッシュ」は「-」という記号。だから「エフダッシュ」だと「\(f\)-」になると思うんだけど…。高校数学ではなぜか「ダッシュ」と「プライム」のこの誤用が慣例になっている。謎。

(追記。『ブレードランナー2049』という映画を日本語吹き替えで見ていたら「捜査官 ケー ディー シックス ダッシュ スリー ドット セブン」というセリフがあったので日本語字幕,英語音声でそれぞれ確認してみると「捜査官 KD63.7」「Officer K D six dash three dot seven」でした)

あとは大文字,例えば\[A\]は「ラージエー」ではなく「キャピタルエー」と読むべきだと思う。

上の例で思い出したけど「関数」って写像のことだから「関数\(f\)」なら分かるけど「関数\(f(x)\)」ってなんかおかしくない??って気もしますが…とはいえその辺突っ込み出すとさすがに不便なのでここはアバウトに認めていいと思いますが。

他にも探せばいろいろありそう(僕自身の誤読・誤用も含め)。中高の数学ってなぜかこの種の「方言」があったりするのでこういうのは専門家(大学の先生)に聞くのが理想ですね。なかなか機会がないけど。

追記。あと母集団の大きさを「母数」と呼ぶのをしばしば耳にしますがこれ聞くたびになんかゾワゾワする。母数は平均\(\mu\)や分散\(\sigma^2\)など母集団における未知のパラメータを指す言葉だと思います…。

以上日常のちょっと気になることでした。

 

平面の方程式

平面の方程式を作ってみます。

ここでは,平面はその平面の垂直方向とその平面が通る1点が定まれば決定することに着目します。平面の法線ベクトルを\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\),平面が通る1点の座標を\(A(a_0,b_0,c_0)\),平面上の任意の点を\(P(x,y,z)\)とおくことにします。\begin{align*}
&\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n} = 0\\
\Longleftrightarrow~ &\left(\begin{array}{c} x-a_0 \\ y-b_0 \\ z-c_0 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)= 0\\
\Longleftrightarrow~ &a(x-a_0)+b(y-b_0)+c(z-c_0)=0\\
\Longleftrightarrow~ &ax+by+cz-aa_0-bb_0-cc_0=0\\
\Longleftrightarrow~ &ax+by+cz+d=0
\end{align*}よって,平面の方程式は\(ax+by+cz+d=0\)と書けること,そしてその法線ベクトルが\((a,b,c)\)で表されることが分かりました(途中,\(-aa_0-bb_0-cc_0=d\)とおきました)。直線の方程式が\(ax+by+c=0\)と書けること,そしてその法線ベクトルが\((a,b)\)で表されることにそっくりですね。

★182(で使うちしき)

\(f:S\rightarrow S^{\prime}\)が全単射であるとき,\[f(A^c)^c=f(A)\]

絵をかけばほんと「明らか」なんだけど…念のため…(鬱)

証明

\(f(A)\subset f(A^c)^c\)であること:
\(a^{\prime} \in f(A)=\{y|\exists x \in A[f(x)=y]\}\)とすれば,\(f(x)=a^{\prime}\)となる\(x \in A\)が存在する.これを\(x_1\)とおく.ここで,\(a^{\prime} \in f(A^c)=\{y|\exists x \in A^c[f(x)=y]\}\)と仮定すれば,\(f(x)=a^{\prime}\)となる\(x \in A^c\)が存在することになる.これを\(x_2\)とおく.すると\(f(x_1) =a^{\prime},f(x_2)=a^{\prime}\)より\(f(x_1)=f(x_2)\).今,\(f\)は(全)単射であるから,\(x_1=x_2\)となるが,しかしこれは\(x_1 \in A, x_2 \in A^c\)であることに矛盾する.したがって\(a^{\prime} \in f(A^c)^c\).よって\(f(A)\subset f(A^c)^c\).

\(f(A^c)^c \subset f(A)\)であること:
\(a^{\prime} \in f(A^c)^c(=S^{\prime}-f(A^c))\)とする.このとき\(a^{\prime} \notin f(A)\)と仮定すると,\(a^{\prime} \notin f(A^c),a^{\prime} \notin f(A)\).ここで\(S = A \cup A^c\)であるから,\(f(S) = f(A \cup A^c) = f(A) \cup f(A^c)\)(∵P45(5.3)).また,\(f\)は全(単)射であるから\(f(S) = S^{\prime}\).よって\(S^{\prime} = f(A) \cup f(A^c)\).\(a^{\prime} \notin f(A^c),a^{\prime} \notin f(A)\)より\(a^{\prime} \notin S^{\prime}\)となるがこれは矛盾である.したがって\(a^{\prime} \in f(A)\).よって\(f(A^c)^c \subset f(A)\).

証明終

そういえば以前「数学は『イメージ』で理解しろ(させろ)」と主張に出会ったことがある。だけど,それって言い換えれば「イメージできない数学は理解できない(理解する術がない)」ということにならないだろうか?直観のきく世界から出ないのであればそれでもいいのかも知れないけど。そもそも,「絵」や「たとえ話」で理解したものは理解したと言えるのだろうか?

どんなノートをつかうべき?

僕は無地ノート一択だと思う。

ノートなら,

ルーズリーフなら,

こんなの。 理由は,

理由1.罫線が邪魔
罫線が思考を縛るから。罫線があると,対象(文字,図,数式)を書くとき必ず罫線の存在を意識することになる。「罫線に沿って書こう」「罫線に合わせて図にすこし上に/下にずらそう」「下に行を半行ほど少しずらしたいけど罫線と被って気持ち悪いから一行あけてしまおう」「矢印書きたいけど罫線と被って気持ち悪い,罫線と重なるように書こう」「円を書くとき罫線邪魔で気が散る」「分数はどう書く?一行に詰めるか?二行に分けるか?」「\(\displaystyle \int\)は?\(\displaystyle \sum\)は?これも一行に詰めるには狭いな,一行おきに書くか?」みたいな。これがウザい。なんで罫線ごときにいちいち自分の思考を指図・邪魔されなくちゃならんのか。こんなどーでもいいことに脳のメモリが(ほんの僅かだったとしても)消費されるのはほんとバカらしい。これらのウザさは無地ノートを使うことですべて解決。自分の思うがままに自由に書けるわけだから。

まあ,罫線のメリット?を強いて挙げるとすれば
① 文章がまっすぐきれいに書ける
② 円はともかく平行線(を用いた図)は綺麗にかける
という点かな?

でもこれらは僕はメリットとは全く思わない。むしろ,デメリットでもあると思う。なぜなら,

① 文章が少しぶれたからといって情報としての内容・質に変化はない。行の角度が1度や2度傾いたからといって1次方程式が2次方程式になることはないし,分かりづらくなることもない。各行同士が平行に並んでキレイ!と喜ぶのは自己満足に過ぎない。数学は書道の時間じゃない。
② これは言い換えれば罫線に頼らないと綺麗な絵を書けないということ。これが非常にまずい。

理由2.本番(入試,資格試験など)では罫線などない
大学入試問題,各種模試,数学検定,学校考査,いずれも解答用紙に罫線はありません(※統計検定の記述問題は罫線あり)。したがって,普段から罫線に頼らずとも見やすい絵を書ける訓練を普段からしておかなければならない。定規やコンパス,そして罫線に頼らず,サッとフリーハンドで見やすい直線がかける,フリーハンドできれいな円がかける,フリーハンドで見やすい平面図,立体図が描ける,これらも大事な数学の能力です。なぜその力を訓練する機会を奪うのか。教育的にもよくないと思う。そして白紙にそれなりの精度で自在に図がかけるようになると,理由1と同じくここでもやはり罫線の存在が邪魔になってくる。目障り極まりない。

学校数学ではこのデメリットだらけの罫線ノートがスタンダードになっているけど,なぜでしょうね。不便さに慣れ,もはや不便を不便と思わなくなってしまっているから?長年ガラケーを使ってるとそれに何ら不満を感じず,スマホの必要性を感じない,あの感覚かな?でも,一度スマホに慣れればガラケーの不便さとスマホの便利さに気付き,もう二度とガラケーには戻れないものですけどね。

罫線ノートを使って罫線にそって板書を綺麗に写す!というこの慣習,教科書は型として学ばなければならない!というアレとすごく似た雰囲気を感じるんだよなあ……まあこれは邪推かな。

「ドットが目印に」って…いやいやその「目印」なしで書くのが大事な訓練でしょうよ…

 

 

 

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