自分用ノート( ఠ ͟ʖ ఠ)
\(\epsilon\delta\)論法を球体で表現：
任意の\(\epsilon >0\)に対し，ある\(\delta>0\)が存在して，
\begin{align*}
&f(B^{(n)}(a;\delta))\subset B^{(m)}(f(a);\epsilon)\\
\Longleftrightarrow~& y \in f(B^{(n)}(a;\delta)) \Rightarrow y \in B^{(m)}(f(a);\epsilon)\\
\Longleftrightarrow~& \forall y[y \in f(B^{n}(a;\delta)) \rightarrow d^{(m)}(f(a),y) < \epsilon]\\
\Longleftrightarrow~& \forall y\left[\exists x \in B^{(n)}(a;\delta) [f(x)=y] \rightarrow d^{(m)}(f(a),y) < \epsilon\right]\\
\Longleftrightarrow~& \forall y\left[\exists x \left[d^{(n)}(a,x)< \delta \land f(x)=y\right] \rightarrow d^{(m)}(f(a),y) < \epsilon\right]\\
\Longleftrightarrow~& \forall y\left[\overline{\exists x \left[d^{(n)}(a,x)< \delta \land f(x)=y\right]} \lor d^{(m)}(f(a),y) < \epsilon\right]\\
\Longleftrightarrow~& \forall y\left[\forall x \left[\overline{d^{(n)}(a,x)< \delta} \lor \overline{f(x)=y}\right] \lor d^{(m)}(f(a),y) < \epsilon\right]\\
\Longleftrightarrow~& \forall y\left[\forall x \left[\overline{d^{(n)}(a,x)< \delta} \lor \overline{f(x)=y} \lor d^{(m)}(f(a),y) < \epsilon\right]\right]\\
\Longleftrightarrow~& \forall y\left[\forall x \left[\overline{d^{(n)}(a,x)< \delta} \lor \overline{f(x)=y \land d^{(m)}(f(a),y) \geq \epsilon}\right]\right]\\
\Longleftrightarrow~& \forall y\left[\forall x \left[\overline{d^{(n)}(a,x)< \delta} \lor \overline{f(x)=y \land d^{(m)}(f(a),f(x)) \geq \epsilon}\right]\right]\\
\Longleftrightarrow~& \forall y\forall x \left[\overline{d^{(n)}(a,x)< \delta} \lor d^{(m)}(f(a),f(x)) < \epsilon \lor \overline{f(x)=y}\right]\\
\Longleftrightarrow~& \forall x\forall y \left[\left[d^{(n)}(a,x)< \delta \rightarrow d^{(m)}(f(a),f(x)) < \epsilon \right]\lor \overline{f(x)=y}\right]\\
\Longleftrightarrow~&\forall x \left[\left[d^{(n)}(a,x)< \delta \rightarrow d^{(m)}(f(a),f(x)) < \epsilon \right]\lor \forall y \left[\overline{f(x)=y}\right]\right]\\
\Longleftrightarrow~&\forall x \left[\left[d^{(n)}(a,x)< \delta \rightarrow d^{(m)}(f(a),f(x)) < \epsilon \right] \lor \overline{\exists y \left[f(x)=y \right]}\right]\\
\Longleftrightarrow~&\forall x \left[\left[d^{(n)}(a,x)< \delta \rightarrow d^{(m)}(f(a),f(x)) < \epsilon \right] \lor \bot\right]\\
\Longleftrightarrow~&\forall x \left[d^{(n)}(a,x)< \delta \rightarrow d^{(m)}(f(a),f(x)) < \epsilon\right]\\
\Longleftrightarrow~&d^{(n)}(a,x)< \delta \Rightarrow d^{(m)}(f(a),f(x)) < \epsilon
\end{align*}
特に，\(d:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m\)を\(d(x,y)=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} (x_i-y_i)^2}\)と定めれば，\(n=1,m=1\)のとき，\[|x-a|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(a)| < \epsilon\]と例のアレになる。
\(\ast\qquad\ast\qquad\ast\)
しかしアニメ版神々の山嶺ほんと面白い。羽生丈二いいなあ。ああいう人間好きだわあ。