解の公式

解の公式\(a \neq 0\)とする.\[ax^2+bx+c=0\]の解は,\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]で与えられる.

ちょうど今時期の中学3年生が学ぶ\(2\)次方程式の解の公式です。中学では天下りに与えられ「覚えろ」の一言で済まされることがほとんどだと思いますし,僕自身も授業では証明は割愛しますといって飛ばしがちなので,ここに証明しておきます。見た目は難しそうですが,中学生でも一応既習の知識のみで理解できるはずです。文字の煩雑さに惑わされず,式をよーく睨んで意味を読み取ってみましょう。やっていることはごくごくシンプルです。

証明

\begin{align*}
&ax^2+bx+c=0\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0\tag{1}\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=0\tag{2}\\
\Longleftrightarrow&~a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=0\tag{3}\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\cdot\frac{b^2}{4a^2}+c=0\tag{4}\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a}-c\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}\\
\Longleftrightarrow&~\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
\Longleftrightarrow&~\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\tag{5}\\
\Longleftrightarrow&~\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{(2a)^2}}\\
\Longleftrightarrow&~\left|x+\frac{b}{2a}\right|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\left|2a\right|}\tag{6}\\
\Longleftrightarrow&~x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{7}\\
\Longleftrightarrow&~x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\Longleftrightarrow&~x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}

証明終

\((1)\)は2つめの項までを\(a\)でくくりました。
\((2)\)は\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)をたして,ひきました。プラマイゼロになるので結局\(0\)を加えているに過ぎず,したがって問題ありません。なぜそんなことをするのかというと,
\((3)\)で因数分解の公式\(x^2+2Ax+A^2=(x+A)^2\)が使えるようにするためです。
\((4)\)は分配法則により\(a\)を分配し,
\((5)\)は辺々\(\sqrt{ }\)をとりました。
\((6)\)は\(\sqrt{A^2}\)の定義を思い出しましょう。\(\sqrt{A^2}\)とは,「\(2\)乗して\(A^2\)となる正の数」でした。それは何ですか?「\(A\)」と答えた人,甘い。\(A\)が負の数である可能性は?例えば,\(A=-1\)なら?\(\sqrt{(-1)^2}=-1\)ってこと?「正の数」と定義したのに,負の数??おかしい。つまり,\(A\)がたとえ負の数であっても,正の数として表したいわけです。いわば,\(A\)の中身が正であろうが負であろうが,正の数として表したい。そんなときのための記号が,絶対値でしたね(絶対値の定義を「距離」として覚えてる人がいますが,今すぐ止めましょう)。なので\(\sqrt{A}=|A|\)
\((7)\)絶対値の“中身”の起こり得る組合せに着目して
\begin{align*}
&\text{\(x\)+\(\frac{b}{2a}\)が正,\(2a\)が正}\\
&\text{\(x\)+\(\frac{b}{2a}\)が正,\(2a\)が負}\\
&\text{\(x\)+\(\frac{b}{2a}\)が負,\(2a\)が正}\\
&\text{\(x\)+\(\frac{b}{2a}\)が負,\(2a\)が負}\\
\end{align*}の4通りの組み合わせがあることに注意すれば
\begin{align*}
(6)\Longleftrightarrow &+\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{+(2a)} \lor +\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{-(2a)}\\
&\lor-\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{+(2a)} \lor -\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{-(2a)}\\
\Longleftrightarrow &\left(x+\frac{b}{2a}\right)=+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \lor \left(x+\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&\lor \left(x+\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \lor \left(x+\frac{b}{2a}\right)=+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\Longleftrightarrow &x+\frac{b}{2a}=+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \lor x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\Longleftrightarrow &x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}となります。

\(0=1\)の証明?

youtubeのおもしろ動画。これを不思議と思うか,あるいは一目でツッコミを入れられるかどうか,論理の勉強になる動画だと思います。

(\(0=1\)の証明?)

\begin{align}
-20 &=-20 \tag{1}\\
16-36 &= 25-45 \tag{2}\\
4^2-4\cdot 9 &= 5^2 – 5\cdot 9 \tag{3}\\
4^2-4\cdot 9 + \frac{81}{4} &= 5^2 – 5\cdot 9 + \frac{81}{4} \tag{4}\\
4^2-2 \cdot 4\cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2 &= 5^2 – 2 \cdot 5\cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2 \tag{5}\\
\left(4 – \frac{9}{2}\right)^2&= \left(5 – \frac{9}{2} \right)^2 \tag{6}\\
4 – \frac{9}{2}&= 5 – \frac{9}{2} \tag{7}\\
4 &= 5 \tag{8}\\
4 -4 &= 5 – 4 \tag{9}\\
0 &= 1 \tag{10}
\end{align}私たちは一般に計算問題が与えられば式を次々と改行・羅列して「答え」を求め,とにもかくにも「答え」さえ手に入れば,とくに疑問も抱くことなくそれを解答欄に書いてさっさと次の問題に進みがちです。しかし,細かいことをいえば本来はその各行の式と式の間には論理的にどういう関係があるのか,まで考える必要があります:
たとえば,\(-20 =-20\)と\(16-36 = 25-45 \)の間にはどんな関係があるでしょうか。\(16-36=-20\)そして\(25-45=-20\)という等式が成り立ちますから,\(-20 =-20 \)という仮定から\(16-36 = 25-45 \)が導けます。すなわち,\[-20 =-20 \Longrightarrow 16-36 = 25-45\]逆に,\(16-36 = 25-45 \)という仮定から\(-20 =-20 \)も確かに導けます。\[-20 =-20 \Longleftarrow 16-36 = 25-45\]この二つをあわせて,\[-20 =-20 \Longleftrightarrow 16-36 = 25-45\]と書きます。

式\((1)\)と式\((2)\)はいわば互いに‘行き来’できる関係(これを以後「同値」と呼ぶことにします)がありましたが,一般には必ずしもこのような関係が成り立つとは限りません(感覚的にたとえると「犬ならば哺乳類」ですが「哺乳類ならば犬」とは限りません)。この点に注意して,各行における「式と式の論理関係」を同様に調べていくと\((1)\)から\((6)\)までの式,また\((7)\)から\((10)\)までの式が互いに同値であることは一目でわかります。怪しいのは\((6)\)式と\((7)\)式の間の論理関係です。見た目がうるさいので,ここでは\(4 – \frac{9}{2} = a\),\(5 – \frac{9}{2} = b\)とおいて考えることにします。

\(a^2=b^2 \Leftarrow a=b\)は言えるか?
これは明らかに言えます。仮定\(a=b\)の両辺を\(2\)乗すればいいだけですから。

\(a^2=b^2 \Rightarrow a=b\)は言えるか?
これはいけない。なぜなら,\(a^2=b^2\)という仮定からは,\(a=b\)だけでなく,\(a=-b\)という可能性も考えられますから。実際,
\begin{align*}
&a^2=b^2\\
\Longrightarrow~&a^2-b^2=0\\
\Longrightarrow~&(a-b)(a+b)=0\\
\Longrightarrow~&a-b=0\text{または}a+b=0\\
\Longrightarrow~&a=b\text{または}a=-b
\end{align*}(※逆も成り立つ)

以下,正しい論理(式)を書いてみます(または,を\(\lor\)と書くことにします)。
\begin{align}
&-20 =-20 \\
\Longleftrightarrow &~16-36 = 25-45 \\
\Longleftrightarrow &~4^2-4\cdot 9 = 5^2 – 5\cdot 9 \\
\Longleftrightarrow &~4^2-4\cdot 9 + \frac{81}{4} = 5^2 – 5\cdot 9 + \frac{81}{4} \\
\Longleftrightarrow &~4^2-2 \cdot 4\cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2 = 5^2 – 2 \cdot 5\cdot \frac{9}{2} + \left(\frac{9}{2}\right)^2 \\
\Longleftrightarrow &~\left(4 – \frac{9}{2}\right)^2= \left(5 – \frac{9}{2} \right)^2 \\
\Longleftrightarrow &~4 – \frac{9}{2}= 5 – \frac{9}{2} \lor 4 – \frac{9}{2}= – \left( 5 – \frac{9}{2}\right)\\
\Longleftrightarrow &~4 = 5 \lor 9 = 9 \\
\Longleftrightarrow &~9 = 9\\
\end{align}結局,\((1)\)から\((5)\)はいわば‘目くらまし’で,\(-20=-20\)という面白みのない仮定から,\(9=9\)というやはり面白みのない結論が得れらた,ということに過ぎない,ということでした。

ルート計算

中学で学ぶルート計算について一言.

例えばこんな計算をしなければならないとしましょう.\[\sqrt{27\times 45}\]ルート計算を学び始めだと,このように計算すると思います.まず\(27\times 45\)を「ひっ算で」計算して,\[\sqrt{27\times 45}=\sqrt{1215}\]次に\(1215\)をまた「ひっ算で」素因数分解して,\[\sqrt{3\times3\times3\times3\times3\times5}\]よって,\[3\times3\sqrt{15}=9\sqrt{15}\]となります.さて,ここで行った計算を振り返ってみましょう.\[\text{ルートの中身を計算}\rightarrow\text{素因数分解}\rightarrow\text{2人いる因数を外に出す}\]つまり差し当たっての目標は\[\text{2人いる因数を探すこと}\]です.これが目的です.であるならば,最初からこれを行えばいいのではないでしょうか?なぜなら,最初のルートの中身が\(27\times 45\)という,「因数が見やすい」形なのですから.すると,ひっ算をするまでもなく,
\[
\begin{align*}
&27=9\times3\\
&45=5\times9
\end{align*}
\]
すなわち,\[\text{27には9が1人,45にも9が1人いる}\]ことが見えます.結局,\[\text{27}\times\text{45には}\text{9が2人いる}\]ことが分かります.したがって,ルートの外は9となり,5と3がルートの中に居残ることになります.よって答えは,暗算で\[9\sqrt{15}\]とすぐに答えられます.

最初に示した計算方法は,例えるならば,「目的はバラバラにすることなのに,そのバラバラのものを一度寄せ集めて一つにして,またまたバラバラにする」という,いわば二度手間をしているわけです.

・・・以上,このルートの例は単純な例ですが,このように計算する生徒が意外に少なくないように思います.

一般に,計算とは面倒なものです.そのような面倒な計算に出会ったとき,\[\text{面倒}\rightarrow\text{だけど我慢して行う}\]という姿勢は,「努力している」という意味では褒められるべきかも知れませんが,数学的にはあまり実り多き努力とは言えないと個人的に思います.それよりも,\[\text{面倒}\rightarrow\text{それを避ける何かうまい方法はないか}\]と考える癖をつけるのことの方が数学的成長の上で大切だと思います.

数学が「得意」?

高校生の声でよく聞くのが「中学では数学が得意だったのに高校では全然できなくなった」という声です.なぜ,このようなことが起きるのでしょうか.ちょっと考えてみたいと思います.

ところで,「数学が得意」「数学ができる」とは,具体的にどういう力を指すのでしょうか.ここで数学の力について考えてみましょう.

「数学とは何か」というのはまさに深遠なテーマで,正直なところ僕ごときに語れる話ではありません.だけど,高校数学・受験数学という立場からは確証的に言えます.僕は以下の二つの力だと思っています.

    1. 演繹的に考える力
    2. 未知のもの,数値,条件を結び付ける力

1.について.「演繹」という言葉は聞きなれない言葉だと思います.「演繹的に考える」とは,簡単に言うと「理由付けしながら考察する」ということです.
これと対の考え方として「帰納」という言葉があります.これは簡単にいうと「具体例から予測する」という考え方です.

例えばこんな例を考えて貰えばわかりやすいと思います.ある学校の次回の数学のテスト内容についてA君とB君が話合っています.その内容は,次のテストで「問題\(\beta\)が出題されるか否か」という話題です.

A君はこう主張しました:
「先輩からもらった過去問10年分によると,10年連続で問題\(\beta\)は出題されている.だから今年も問題\(\beta\)が出るはずだ」

一方,B君はこう主張しました:
「範囲内の問題は全部で問題\(\alpha\)と問題\(\beta\)と問題\(\gamma\)から構成されている.しかし以前先生は「この範囲から問題\(\alpha\)と問題\(\gamma\)は出題しない」と言っていた.ということは,問題\(\beta\)が出題されるはずだ」

結論は両社同じく「問題\(\beta\)が出題される」ですが,その結論に至る過程が異なります.前者が帰納的な考え方で,後者が演繹的な考え方です.

2.について.問題(数値決定問題)は,必ず,求めるべき「未知のもの」,与えられた「数値」,そして「条件」で構成されています.
これらを数式,日本語,絵,表を用いて適切な言い換えを行い状況を正しく把握・理解し,そして整理して結びつける,という作業により問題は解決します(解けます).

さて,中学数学においてこの1.と2.に対応する分野はなんでしょうか.それは「証明問題」「文章問題」です.この分野で得られる力こそが,(とりあえず高校数学的立場から見た)「数学の力」と言っていいでしょう.

しかしながら,この分野は中学数学分野における小さな領域でしかありません.大部分をしめるのは機械的な「計算問題」です.「計算問題」が正確に出来さえすれば,ある程度の高得点が取れてしまう,ということです.ここに,生徒の「誤解」が生まれます.

つまり,冒頭で話した「数学が得意な」中学生とは,実は数学ではなく「計算が」得意なだけであった,ということで,ちょっと厳しめの言い方をすると「自分が数学が得意だと思い込んでいただけで,そもそも数学が得意ではなかった」ということです.このように考えれば「高校で数学ができなくなった,苦手になった」というのは当然の帰結であると言えます.

もちろん,「計算が正確に出来る」というのは数学を学ぶ上で超重要なスキルです.これが出来なければ数学はできない文字通りの基礎力ですし,ここをしっかり押さえた努力は褒めて然るべきです.しかし残念ながら,\[\text{数学ができる人}\Longrightarrow\text{計算が出来る人}\]は言えますが,\[\text{計算が出来る人}\Longrightarrow\text{数学が出来る人}\]は必ずしも言えません.

以上により,中学~高校と,数学の学習を連続的な視点でとらえた場合,中学数学を学ぶ際の「力点の置き方」が重要になることが分かります.こういった姿勢を早い段階で得ておくことが,高校へのスムーズな接続,ひいては将来的な第一志望大学合格へ繋がるものと当塾では考えております.

式の記述について

中学生~高校1年生の記述を見ていると気になることがあります.例えば,方程式 \(x^2+5x+2=0\) を解け,という問題.

(解答1)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]

(解答2)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
x&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
x&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]

もちろん,どちらも正解です.ただ,主張していることが微妙に違います.言葉で説明するより数式で表現した方が早いので,数式で説明してみます.それぞれの解答を少し書き直してみます.

(解答1’)
\[x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\]

(解答2’)
\[\begin{align}
x&=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}\\
\Longleftrightarrow x&=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}\\
\Longleftrightarrow x&=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}
\end{align}\]
すなわち
\[x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2}}{2}
\Longleftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{25-8}}{2}
\Longleftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}\]

 

つまり,(解答1)は「1つの式を(横にダラダラ続けると見づらいので)縦に改行したもの」,(解答2)は「複数の式を同値記号\(\Leftrightarrow\)でつなぎ,さらにその同値記号を省略したもの」を意味しています.ちょっと難しい言葉を使うと,(解答1)が単一の式で表された命題(条件)であるのに対し,(解答2)は複数の命題が同値記号で結ばれた合成命題である,ということです.

もちろん,中学生は上の話を理解できなくてもいいのですが,意味がちょっと違う,ということだけは少なくとも認識しておきたいところです.個人的には中学生段階では(解答1)のように書くことを勧めます.同値性を認識せずに(省略されているとはいえ)同値記号\(\Leftrightarrow\)を使っているのはちょっとまずい気がしますし,また単純な計算問題において同じことを何度も書くのはくどいしかっこ悪いからです.

高校生の皆さんも,一般に,式が縦に並んでいるときは同値記号\(\Leftrightarrow\)が省略されているんだなと認識しておくのがとよいと思います.記述における必要性や十分性を意識するひとつのきっかけにもなると思いますから.