数値代入法

恒等式の定番問題について.

等式
\[a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1\]
が\(a\)についての恒等式となるように,定数\(a,~b,~c\)の値を求めよ.

(東京書籍 数学Ⅱ「式と証明」より抜粋)

この定番問題には2つ有名な解き方があります.係数比較法と数値代入法です.教科書等の解答を見てもらえるとわかるのですが,「数値代入法」では「逆に~」という記述がある一方,「係数比較法」ではその種の記述は見当たりません.なぜでしょうか?そこで,論理式を用いて記述してます.

【係数比較法】
\[
\begin{align*}
&a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1\text{が恒等式}\\
\Longleftrightarrow& (a+b+c)x^2+(b-c-3)x-a+1=0\text{が恒等式}\\
\Longleftrightarrow& a+b+c=0 \land b-c-3=0 \land -a+1=0\\
\Longleftrightarrow& a=1 \land b=1 \land c=-2\\
\end{align*}
\]
【解答終】

どの行を眺めても,単純な計算と恒等式の定義(どんな\(x\)についても式が成り立つ)による変形なので同値性は崩しておらず,問題ありません.次に数値代入法で解いてみます.

【数値代入法】

与式を\(f(x)=g(x)\)とおく.

\[
\begin{align*}
&a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1\text{が恒等式}\\
\Longrightarrow& f(-1)=g(-1) \land f(0)=g(0) \land f(1)=g(1)~\cdots(\ast)\\
\Longleftrightarrow& a+b+c=0 \land b-c-3=0 \land -a+1=0\\
\Longleftrightarrow& a=1 \land b=1 \land c=-2\\
\end{align*}
\]

\((\ast)\)で同値性を崩しているので,逆(十分性)を確認する.すなわち,\[a=1 \land b=1 \land c=-2~\Longrightarrow f(x)=g(x)\text{が恒等式}\]を確認する.

\(a=1 \land b=1 \land c=-2\)のとき,\(f(x)=g(x)\)は,

\[
\begin{align*}
&f(x)=g(x)\\
\Longleftrightarrow&(x+1)(x-1)+x(x+1)-2x(x-1)=3x-1\\
\Longleftrightarrow& x^2-1+x^2+x-2x^2+2x=3x-1\\
\Longleftrightarrow& 3x-1=3x-1\\
\end{align*}
\]

と変形できるが,これは恒等式である.十分性が確認できたので,\(a=1, b=1 , c=-2\)は必要十分条件である.【解答終】

「『どんな\(x\)でも成り立つ』のなら都合のいい\(x\)を代入してやれ~」の精神で\(-1,~0,~1\)を代入するわけですが,そうして得られた命題はあくまで「\(-1,~0,~1\)という\(x\)で\(f(x)=g(x)\)成り立つ」ことを主張しており,「すべての\(x\)で\(f(x)=g(x)\)が成り立つ(\(f(x)=g(x)\)が恒等式である)」ことを主張してはいません.つまり必要条件にしか過ぎないのです.だから,逆の調査が必要なのです.以前紹介した\[P_1\Longrightarrow P_2\Longrightarrow P_3\Longrightarrow\cdots \Longrightarrow P_n\]と変形してから,\[P_1\Longleftarrow P_n\](十分性)を確認する,という考え方ですね.

これは教科書の問題ですが,こういった教科書例題レベルにもこういった論理が潜んでいる,ということです.学び始めは,テスト等で点数を取るために「とりあえず展開して係数を比較すればいい!」と「解法」を記憶することで一杯一杯だと思いますが,このような背景も知っておくこともまた大事なことだと思います.