不定方程式の解法

不定方程式の解法について考察してみます.

不定方程式\[49x-23y=1\]の解となる最小の自然数\(x\)を答えよ.

(2019 センター試験数学Ⅰ・A 改題)

定石的には,ユークリッドの互除法により特殊解を見つけて,それを代入したものを辺々引いて・・・という手順を踏みますが,合同式を利用すれば

【解答】

以下,\(\mathrm{mod} 23\)とする.

\[
\begin{align*}
&49x-23y\equiv1\\
&49x\equiv1\\
&3x\equiv1\\
&24x\equiv8\\
&x\equiv8\\
\end{align*}
\]

したがって,一般解は\(x=23k+8\)(\(k\)は任意の整数)であるから答えは\(8\)

【解答終】

・・・と,このようにスピーディーに解答できるので,ぜひマスターしておきたいところです.変形のイロハについてもいずれ記事にしたいと思ってます.塾でも希望者には合同式講座を開催しますので,ぜひ参加してください^^