宝くじの期待値

宝くじを買います.人はみなそれぞれ当たる額を予想するでしょう.
「1億円当たってほしい!」「いや欲は言わない,10万円でいいから当たって欲しい」「3億円あたったら何しよう(妄想)」などなど.

このような願望に基づく「人間的な予測値」ではなく,極力客観的な,すなわち「数学的な予測値」を考えてみましょう.それが「期待値」という値です.
\[\text{期待値とは,いくら当たるのかを数学的に予測した値}\]計算式はかんたん.\[\sum \left(\text{(当選金額)}\times\text{(当選確率)}\right)\]

さあ,宝くじの期待値を計算してみましょう.

まず,宝くじの仕組みの確認から.
宝くじ券には,「ユニット」「組」「番号」の3つの情報で構成されています.

ここでは,「ドリームジャンボ宝くじ(第787回全国自治宝くじ)」を例にとって考えてみます.

この回の宝くじでは,

\begin{align*}
\text{組に}&~~1~100\\
\text{番号に}&~~100000~199999
\end{align*}

の番号が振られているそうです.
組が100通り,番号が100000通りですから,\[100\times100,000=10,000,000\]つまり1千万枚の宝くじ券があることになります.この,組と番号の1千万通りの宝くじ券を「1ユニット」と呼びます.この第787回宝くじでは,\[13~\text{ユニット}\]発行するそうですから,結局,\[10,000,000\times13=130,000,000\]すなわち宝くじの発行総枚数は1億3千万枚,ということになります.ひえ~.

次に,各賞の枚数を計算してみましょう.

※ 当選の組と番号は第770回のドリームジャンボ宝くじのを流用しています
※ \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\)は1~100までの任意の数です
※ ■は0または1が入ります
※ ●は0~9までの数が入ります

番号 1ユニット
あたりの本数
13ユニット
あたりの本数
合計 当選金額 確率
1等 96 122234 1 13 13 300,000,000 0.0000001
1等
前後賞
96
96
122233
122235
1
1
13
13
26 100,000,000 0.0000002
1等
組違い賞
1~95
97~100
122234 99 1287 1287 100,000 0.0000099
2等 135
29
93
186460
197327
131661
1
1
1
13
13
13
39 10,000,000 0.0000003
3等 ■●3
■●3
■●4
195345
139690
193003
2×10=20
2×10=20
2×10=20
260
260
260
780 1,000,000 0.000006
4等 \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\)
\(\ast\)\(\ast\)\(\ast\)
1●9246
1●7311
100×10=1000
100×10=1000
13000
13000
26000 100,000 0.0002
5等 \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\) 1●●823 100×10^2=10000 130000 130000 10,000 0.001
6等 \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\) 1●●●13 100×10^3=100000 1300000 1300000 3,000 0.01
7等 \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\) 1●●●●2 100×10^4=1000000 13000000 13000000 300 0.1

期待値を計算すると,

\[
\begin{align*}
&3000000000\times\frac{13}{130000000}+100000000\times\frac{26}{130000000}+100000\times\frac{1287}{130000000}\\+&10000000\times\frac{39}{130000000}+1000000\times\frac{780}{130000000}+100000\times\frac{26000}{130000000}\\
+&10000\times\frac{130000}{130000000}+3000\times\frac{1300000}{130000000}+300\times\frac{13000000}{130000000}\\
=&150
\end{align*}
\]

ゼロの個数あってるかな(実際はエクセルで計算しました).

・・・150円.つまり数学的には150円当たる,と予測できるわけです.しかし考えてみてください.ドリームジャンボ宝くじは一枚いくらしますか.

・・・300円!!!

うーん.買わない方がいいですね^^;

 

おわり