★条件付き期待値2

\(E(Y|X\geq0)=E(E(Y|X\geq0))\)

証明?
\begin{align*}
E(E(Y|X\geq0))&=\int_{0}^{\infty}E(Y|X=x)f_{X|X\geq0}(x)dx\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X\geq0}(y|x)dy\right)f_{X|X\geq0}(x)dx\\
&=\int_{0}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}y\frac{f_{X|X\geq0,Y}(x,y)}{f_{X|X\geq0}(x)}dy\right)f_{X|X\geq0}(x)dx\\
&=\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf_{X|X\geq0,Y}(x,y)dydx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}ydy\int_{0}^{\infty}f_{X|X\geq0,Y}(x,y)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X\geq0}(y|x)dy=E(Y|X\geq0)\\
\end{align*}

出典:統計数理,2015年,大問5(6)

不安な点:

  • \(f_{X|X\geq0}(x)\)や\(f_{Y|X\geq0}(y|x)\)や\(f_{X|X\geq0,Y}(x,y)\)という記法とその解釈は正しい?
  • \(X|X\geq0\)は\(X\geq0\)という表示ではダメ?(上の証明では混在させている)

★条件付き期待値

\(E(Y)=E(E(Y|X))\)

証明
\begin{align*}
E(E(Y|X))&=\int_{-\infty}^{\infty}E(Y|X=x)f_{X}(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}yf_{Y|X}(y|x)dy\right)f_{X}(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\int_{-\infty}^{\infty}y\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}dy\right)f_{X}(x)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf_{X,Y}(x,y)dydx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}ydy\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)dx\\
&=\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)dy=E(Y)\\
\end{align*}

気を付けたいこと:
\(E(Y|X)\)自体が(条件付き期待値の定義より)確率変数\(X\)の関数で,確率変数.