モンティ・ホール問題

みんな大好きモンティ・ホール問題.

プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか?

この有名な問題にはいろいろな考え方があるようですが,ここでは条件付き確率の問題とみて(ベイズの定理を使って)考えてみましょう!

与えられた3つのドアにA,B,Cと名前をつけます.

まず「プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる」とあるので,ここではプレーヤーが部屋Aを選び,モンティが部屋Bのドアを開けたとしましょう.

ここで,プレーヤーに選択権が与えられるわけです.最初の選択(部屋A)を変えずにいるか,それとも部屋Cに選択を変えるか.選び方によって確率は変わるのか,変わらないのか.変わるのであれば,どちらを選択するのが賢明か…?

計算してみましょう.モンティが部屋\(B\)を開けるという事象を「\(B\text{開}\)」,実際に部屋\(X\)に車があるという事象を「\(X\text{車}\)」と書くことにします.

まず,部屋を変えない場合

求めたい確率は「『モンティによって部屋Bが開けられた』という事実のもとで,部屋Aに車がある確率」ですから,\(P(A\text{車}|B\text{開})\)となります.計算してみましょう.

\[
\begin{align*}
P(A\text{車}|B\text{開})&=\frac{P(A\text{車}\cap B\text{開})}{P(B\text{開})}&\cdots(1)\\
&=\frac{P(A\text{車}\cap B\text{開})}{P(B\text{開}\cap A\text{車})+P(B\text{開}\cap C\text{車})}&\cdots(2)\\
&=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}&\cdots(3)\\
&=\frac{1}{3}
\end{align*}
\]

\((1)\)は条件付き確率の定義そのものです.

\((2)\)の分母について:\(B\text{開}\)という状況,すなわち「モンティが部屋\(B\)を開ける」という状況を詳しく見ると次の3通りが考えられます

      • 車が部屋\(A\)にあって,モンティが部屋\(B\)を開ける
      • 車が部屋\(B\)にあって,モンティが部屋\(B\)を開ける
      • 車が部屋\(C\)にあって,モンティが部屋\(B\)を開ける

このうち真ん中「車が部屋\(B\)にあって,モンティが部屋\(B\)を開ける」はありえません(モンティはヤギの部屋を開けるわけですから).したがって\[P(B\text{開})=P(B\text{開}\cap A\text{車})+P(B\text{開}\cap C\text{車})\]となります(全確率の定理).

\((3)\)で\(P(A\text{車}\cap B\text{開})=\frac{1}{2}\)である理由:まず,プレーヤーが部屋\(A\)を選んだ以上モンティは部屋\(A\)を開けられません.そして今車は部屋\(A\)にありますから,部屋\(B\)と部屋\(C\)にはヤギがいることになります.つまりモンティには部屋\(B\)を開けるか,部屋\(C\)を開けるか2つの選択肢があります.したがって確率は\(\frac{1}{2}\)となります.

\((3)\)で\(P(B\text{開}\cap C\text{車})=1\)である理由:プレーヤーが部屋\(A\)を選んだ以上モンティは部屋\(A\)を開けられず,また部屋\(C\)には実際に車があるのでモンティは部屋\(C\)も開けられません.所以,モンティが開けられるのは部屋\(B\)しかありません.したがって確率は1となります.

以上に気を付けて計算すると確率は\(\dfrac{1}{3}\)になります.

次に,部屋を変える場合

求めたい確率は,「『モンティによって部屋Bが開けられた』という事実のもとで,部屋Cに車がある確率」ですから,\(P(C\text{車}|B\text{開})\)となります.同じように計算してみましょう.

\[
\begin{align*}
P(C\text{車}|B\text{開})&=\frac{P(C\text{車}\cap B\text{開})}{P(B\text{開})}\\
&=\frac{P(C\text{車}\cap B\text{開})}{P(B\text{開}\cap A\text{車})+P(B\text{開}\cap C\text{車})}\\
&=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}
\end{align*}
\]

よって確率は\(\dfrac{2}{3}\)となります.

結局,部屋を変えたほうがよい(当たる確率が倍になる!)ことが分かります!

ここで用いた考え方は「ベイズの定理」と呼ばれます.このベイズの定理を使うと,とくに難しい局面もないままに単純な計算のもと欲しい確率が手に入ってしまいます.