かつとまたは,どっち?

不等式\[4x^2+5x-12\leq 3|x|\]を解け.

解答1

\((\mathrm{i})~\)\(x \geq 0\)のとき\(|x|=x\)であるから,
\begin{align*}
&4x^2+5x-12\leq 3x\\
&4x^2+2x-12\leq 0\\
&2x^2+x-6\leq 0\\
&(2x-3)(x+2)\leq 0\\
&-2\leq x \leq \frac{3}{2}\\
\end{align*}\(x \geq 0\)との共通部分を考え,\(0 \leq x \leq \frac{3}{2}\tag{1}\)

\((\mathrm{ii})~\)\(x < 0\)のとき\(|x|=-x\)であるから,
\begin{align*}
&4x^2+5x-12\leq -3x\\
&4x^2+8x-12\leq 0\\
&x^2+2x-3\leq 0\\
&(x+3)(x-1)\leq 0\\
&-3\leq x \leq 1\\
\end{align*}\(x < 0\)との共通部分を考え,\(-3 \leq x < 0\tag{2}\)

\((1),(2)\)との和集合を考え,\(-3 \leq x \leq \frac{3}{2}\)

解答終

よく見るいたって普通の解答ですが,生徒に「なぜ\((\mathrm{i}),(\mathrm{ii})\)では『かつ』なのに最後は『または』なんですか?『かつ』じゃだめなんですか?」と問われたらなんと答えらたいいのだろう?教科書にはもちろんそれらしい記述は一切はないから例によって頼りにならない。説明がないのだから,結局「そういうものだから覚えろ」と言うかそもそも(生徒の感覚に任せ)触れないかのどちらかになると思う。

解答2

\begin{align*}
&4x^2+5x-12\leq 3|x|\\
\Longleftrightarrow~&4x^2+5x-12\leq 3|x| \land ( x \geq 0 \lor x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&(4x^2+5x-12\leq 3|x| \land x \geq 0) \lor (4x^2+5x-12\leq 3|x| \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&(4x^2+5x-12\leq 3x \land x \geq 0) \lor (4x^2+5x-12\leq -3x \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&(2x^2+x-6 \leq 0 \land x \geq 0) \lor (x^2+2x-3\leq 0 \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~&( -2\leq x \leq \frac{3}{2} \land x \geq 0) \lor (-3 \leq x \leq 1 \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~& 0 \leq x \leq \frac{3}{2}\lor -3 \leq x < 0\\ \Longleftrightarrow~&-3 \leq x \leq \frac{3}{2} \end{align*} 解答終

結局,やっていることが,恒真命題の追加と分配法則と分かり,これなら先のような疑問を挟む余地がありません。

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教科書ってこの種のその先はいう必要ないですよね的な部分があるからいまいち信用できないし,またそれを妄信する人も理解できない。教科書の解答こそが理想の解答だとかほんと勘弁。

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