絶対値の扱い

新高1生向け。絶対値を含む方程式・不等式おいて,「場合分け」をし,「(得た結果について,場合分けで行った)条件を満たすかどうかを確認」または「共通部分」をとりました。以下はそこで「?」と思った人向けの話です。教える側としても一般的な「場合分け」で説明しているとどこか後ろめたさを感じるのでここにノートしておきたいと思います。

まず各種公式を証明します。\(c>0\)とします。

\begin{align*}
&(1)\quad |x|=c \Longleftrightarrow x=\pm c\\
&(2)\quad |x| < c \Longleftrightarrow -c < x < c\\
&(3)\quad |x| > c \Longleftrightarrow x < -c \lor c < x
\end{align*}

\((1)\)の証明

\begin{align*}
&|x|=c\\
\Longleftrightarrow~ & |x|=c \land (x \geq 0 \lor x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (|x|=c \land x \geq 0) \lor (|x|=c \land x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (x=c \land x \geq 0) \lor (-x=c \land x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (x=c \land x \geq 0) \lor (x=-c \land x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & x=c \lor x=-c\\
\Longleftrightarrow~ & x=\pm c
\end{align*}

証明終

\((2)\)の証明

\begin{align*}
&|x| < c\\
\Longleftrightarrow~ & |x| < c \land (x \geq 0 \lor x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (|x| < c \land x \geq 0) \lor (|x| < c \land x < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (x < c \land x \geq 0) \lor (-x < c \land x < 0) \\
\Longleftrightarrow~ & (0 \leq x < c) \lor (-c < x < 0) \\
\Longleftrightarrow~ & -c < x < c
\end{align*}

証明終

\((3)\)の証明

\begin{align*}
&|x| > c\\
\Longleftrightarrow~ & |x| > c \land (x \geq 0 \lor x < 0)\\ \Longleftrightarrow~ & (|x| > c \land x \geq 0) \lor (|x| > c \land x < 0)\\ \Longleftrightarrow~ & (x > c \land x \geq 0) \lor (-x > c \land x < 0) \\
\overset{(\ast)}{\Longleftrightarrow}~ & x < -c \lor c <x\\
\end{align*}

証明終

\((\ast)\)の理解:
例えば,一般に\(A\land B \Rightarrow A\)ですから\(x > c \land x \geq 0 \Rightarrow x > c\),逆に\(x > c\)であるとき,\(c > 0\)が議論の大前提であったことを思い出すと\(x > 0\)であることすなわち\(x \geq 0\)が言え,\(x > c \land x \geq 0 \Leftarrow x > c\)が得られます。

以上の考察をそのまま問題に適用してみます。

次の方程式・不等式を解け.
\begin{align*}
&(1)\quad|x+4|=3x\\
&(2)\quad|2x+1| < x + 5\\
&(3)\quad 4x^2+5x-12\leq 3|x|
\end{align*}

\((1)\)の解答

\((2)\)の解答

\begin{align*}
&|2x+1| < x + 5\\
\Longleftrightarrow~ & |2x+1| < x + 5 \land (2x+1 \geq 0 \lor 2x+1 < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (|2x+1| < x + 5 \land 2x+1 \geq 0) \lor (|2x+1| < x + 5 \land 2x+1 < 0)\\
\Longleftrightarrow~ & \left( 2x+1 < x + 5 \land x \geq -\frac{1}{2} \right) \lor \left( -2x-1 < x + 5 \land x < -\frac{1}{2}\right)\\
\Longleftrightarrow~ & \left( x < 4 \land x \geq -\frac{1}{2} \right) \lor \left( x > -2 \land x < -\frac{1}{2} \right) \\
\Longleftrightarrow~ & \left( -\frac{1}{2} \leq x < 4 \right) \lor \left(-2 < x < -\frac{1}{2}\right)\\
\Longleftrightarrow~ & -2 \leq x < 4
\end{align*}

解答終

\((3)\)の解答

…ちなみに教科書等では上の公式\((3)\)を\(x < -r,r < x\)と「,(カンマ)」と書いていますがこのカンマは「または」のカンマです。教科書は「かつ」も「または」をどちらも「,(カンマ)」で略記しているので注意が必要です。

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