値域の問題

実数\(a,b,c\)が\(a+b+c=a^2+b^2+c^2=1\)を満たすとする.\(c\)のとりうる値の範囲を求めよ.

「☆という値をとる」という主張を「その値☆を実現するような★が存在する」と言い換えます。あとはそれを機械的に処理するだけ。

解答

\begin{align*}
&\text{\(c\)が\(k\)という値をとる}\\
\Longleftrightarrow&~\exists a\in \mathbb{R}\exists b\in \mathbb{R}[a+b+k=a^2+b^2+k^2=1]\\
\Longleftrightarrow&~\exists a\in \mathbb{R}\exists b\in \mathbb{R}[a+b+k=1 \land a^2+b^2+k^2=1]\\
\Longleftrightarrow&~\exists a\in \mathbb{R}\exists b\in \mathbb{R}[b=1-a-k \land a^2+b^2+k^2=1]\\
\Longleftrightarrow&~\exists a\in \mathbb{R}[a^2+(1-a-k )^2+k^2=1]\\
\Longleftrightarrow&~\exists a\in \mathbb{R}[a^2-(1-k )a+k^2-k=0]\\
\Longleftrightarrow&~(1-k )^2-4(k^2-k)\geq 0\\
\Longleftrightarrow&~3k^2-2k-1\leq 0\\
\Longleftrightarrow&~-\frac{1}{3}\leq k \leq 1\\
\end{align*}

解答終

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