\[\sqrt{a} < b\]
恒真条件の追加と分配法則，矛盾命題の消去により，
\begin{align*}
&\sqrt{a} < b\\
\Longleftrightarrow~&\sqrt{a}< b \land (b \geq 0 \lor b < 0)\\
\Longleftrightarrow~&(\sqrt{a} < b \land b \geq 0)\lor (\sqrt{a} < b \land b < 0)\\
\Longleftrightarrow~&\sqrt{a} < b \land b \geq 0
\end{align*}
ここからさらに変形を考えますが，前回同様，いきなり同値な変形は考えづらいので，必要性\((\Rightarrow)\)と十分性\((\Leftarrow)\)を別々に考えることにします． まず必要性\((\Rightarrow)\)から．\(\sqrt{a} \geq 0\)ですから，\(\sqrt{a} < b\)の両辺を２乗することができて，例えば次のように必要条件が得られます：
\begin{align*}
&\sqrt{a} < b \land b \geq 0 \Longrightarrow a < b^2 \land b \geq 0 \tag{1}
\end{align*}
次にこの\((1)\)における十分性\((\Leftarrow)\)を考えてみます．当然，\(a < b^2\)の両辺に\(\sqrt{\quad}\)をとりたくなりますが，しかし\(a\)が正である保証は今手元の仮定にはありません．つまり\(\sqrt{\quad}\)をとることができず，戻れない．そこで，\((1)\)において必要条件をもう少し絞り出すことを考えます．欲しいのは\(a \geq 0\)ですが，\(\sqrt{a}\)の‘中身’は正ですから，必要条件は
\[\sqrt{a} < b\land b \geq 0 \Longrightarrow a < b^2 \land b \geq 0 \land a \geq 0\]
とできるはずです．そして改めて十分性を確認してみます．
\begin{align*}
a < b^2 \land b \geq 0 \land a \geq 0 \Longrightarrow &\sqrt{a} < \sqrt{b^2} \land b\geq 0 \land a \geq 0\\
\Longrightarrow &\sqrt{a} < |b| \land b \geq 0 \land a \geq 0\\
\Longrightarrow &\sqrt{a} < b \land b \geq 0 \land a \geq 0\\
\Longrightarrow &\sqrt{a} < b \land b \geq 0
\end{align*}
となり戻れました．これで必要十分（同値）であることが分かりました．したがって\((1)\)の論理式は，
\[\sqrt{a} < b \land b \geq 0 \Longleftrightarrow a < b^2 \land b \geq 0 \land a \geq 0 \Longleftrightarrow 0\leq a < b^2 \land b \geq 0 \]
と書きかえれば同値になることが分かりました．
以上により，
と同値変形できることが分かりました．