上の曲線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は，いずれの場合も\[S = \frac{|a|(\beta-\alpha)^5}{30}\]で表される．
証明
（\(a>0\)の場合）
被積分関数\(f(x)-g(x)\)がどんな関数になるかを考える．これは，
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- \(4\)次式で，
- 次数が一番大きい項の係数は\(a\)で，
- \(x=\alpha\)と\(x=\beta\)で接する，すなわち\(f(x)-g(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\alpha,\beta,\beta\)である
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ことに着目すると，\[f(x)-g(x) = a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\]とかける．したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 dx \\
=~&\frac{a(\beta-\alpha)^5}{30}\tag{3}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^5}{30}
\end{align*}
（\(a<0\)の場合）
上と同様に考え，
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 dx \\
=~&\frac{-a(\beta-\alpha)^5}{30}\tag{3}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^5}{30}
\end{align*}
以上により，いずれの場合も面積\(S\)は\[\frac{|a|(\beta-\alpha)^5}{30}\]で表されることになる．
証明終
\((3)\)はここの公式有名な定積分によります．