楕円の方程式

\(2\)点\(F(c,0),F'(-c,0)\)からの距離の和が\(2a\)であるような軌跡を求めよ.ただし,\(a>c>0\)とする.

以下,\(a>c>0\)は議論の‘大前提’としておく.
\begin{align*}
&PF+PF’=2a\\
\Longleftrightarrow~&\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a\\
\Longleftrightarrow~&\sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a – \sqrt{(x-c)^2+y^2}\\
\Longleftrightarrow~&(x+c)^2+y^2 = \left( 2a – \sqrt{(x-c)^2+y^2} \right)^2 \land 2a – \sqrt{(x-c)^2 + y^2} \geq 0 \\
\Longleftrightarrow~&a\sqrt{(x-c)^2+y^2} = a^2 – cx \land 4a^2 \geq (x-c)^2 + y^2\\
\Longleftrightarrow~&a^2\left((x-c)^2+y^2\right) = (a^2 – cx)^2 \land a^2 – cx \geq 0 \land 4a^2 \geq (x-c)^2 + y^2\\
\Longleftrightarrow~&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \land a^2 – cx \geq 0 \land 4a^2 \geq (x-c)^2 + y^2\\
\Longrightarrow~&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\tag{\(\ast\)}
\end{align*}
\((\ast)\)の十分性を示す.そのためには,次の二つの命題が示せればよい.
\begin{align*}
&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \Longrightarrow a^2 – cx \geq 0 \tag{1}\\
&\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \Longrightarrow 4a^2 \geq (x-c)^2 + y^2 \tag{2}
\end{align*}
まず\((1)\)を証明する.まず仮定\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)により,\(\frac{x^2}{a^2} \leq 1\)が言える.すなわち\(-a \leq x \leq a\).このとき,
\[a^2-cx \geq a^2-ca = a(a-c) > 0 \]
よって,\(a^2-cx > 0\).これで\((1)\)が示された.

次に\((2)\)を証明する.まず仮定\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)により,\(\frac{y^2}{a^2-c^2} \leq 1 \Leftrightarrow y^2 \leq a^2 – c^2\)が言える.また,前半と同様にして\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)から\(-a \leq x \leq a\)が言えることにも注意する.以上の準備の下に,\((2)\)を示す.
\begin{align*}
(x-c)^2 + y^2 \leq &~(x-c)^2 + a^2-c^2\\
= &~x^2-2cx+a^2\\
\leq &~a^2-2cx+a^2\\
= &~2(a^2-cx)\\
\leq &~2(a^2+ca)\\
< &~2(a^2+a^2)=4a^2
\end{align*}
ゆえに,\((x-c)^2 + y^2 < 4a^2\).これで\((2)\)も示された.

以上により\((\ast)\)の十分性,すなわち
\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \land a^2 – cx \geq 0 \land 4a^2 \geq (x-c)^2 + y^2&\\
\Longleftarrow~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1&
\end{align*}
が言えた.よって,
\[PF+PF’=2a~\Longleftrightarrow~\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\]
が得られる.

\(\ast\)    \(\ast\)    \(\ast\)

教科書では必要性だけを追っていき最後に「逆に,\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1\)を満たす点\(\mathrm{P}(x,y)\)は,\(PF+PF’=2a\)を満たす」としか書いておらず,なぜ逆が成り立つのかについては触れていません.

この軌跡を楕円と呼びます.