増減表のかきかた2

\(f(x)=x(\log x)^2-2x\log x +\frac{3}{2}x -1~(1\leq x \leq e)\)の最大値と最小値を求めよ.

\begin{align*}
f^{\prime}(x)=&1\cdot (\log x)^2+x\cdot 2(\log x)\frac{1}{x}-2\left(\log x+x\cdot \frac{1}{x}\right)+\frac{3}{2}\\
=&(\log x)^2+2\log x-2\log x-2+\frac{3}{2}\\
=&(\log x)^2-\frac{1}{2}
\end{align*}
\(f^\prime(x)=0\)を解くと,\begin{align*}
&(\log x)^2-\frac{1}{2}=0\\
\Longleftrightarrow &~\left(\log x -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\log x +\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0\\
\Longleftrightarrow &~\log x = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
\Longleftrightarrow &~x=e^{\frac{1}{\sqrt{2}}}
\end{align*}
さて,増減表ですが,例の「\(f(x)=0\)を満たす\(x\)を挟む\(x\)を代入して調べる」方法をとるとすれば,\(1\leq x \leq e^\frac{1}{\sqrt{e}}\)そして\(e^\frac{1}{\sqrt{e}} \leq x \leq e\)を満たす\(x\)を見つけ,それを\(f^{\prime}(x)=(\log x)^2-\frac{1}{2}\)に代入するわけですが…そんなことはとてもじゃないがやってられない。

そこで,以下のように考えます:

\begin{align*}
f^{\prime}(x)=&(\log x)^2-\frac{1}{2}=\left(\log x -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\log x +\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
\end{align*}ここで,\(f^{\prime}(x)\)の正負に関わるのは\(\left(\log x -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)の部分だけですから,この部分だけに着目することにします。ここで前回の「増減表のかきかた」で紹介したように「絵をかく」ことを考えますが,ここでさらに一工夫。着目している\(\log x -\frac{1}{\sqrt{2}}\)を,\(y=\log x\)と\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)との差,という「2つの関数の差」と見なすことで以下のように視覚化できます。


\(y=\log x\)が‘上’なら正,\(y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)が‘上’なら負ですから,結局\(f^{\prime}(x)\)の符号は\(e^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)を境に\(-\rightarrow+\)と変化することが直ちに分かります。

他にも例えば,

\[f(x)=e^x\sin x~(0\leq x \leq \pi)\]

であれば,\(f^{\prime}(x)=e^x(\sin x+\cos x)\)となりますが,これなら\(\sin x-(-\cos x)\)という「関数の差」と見なすことで,以下のように増減の様子が即断できます(しかも\(f^{\prime}(x)=0\)をみたす\(x\)が\(\frac{3}{4}\pi\)であることも分かるというオマケつき)。これを「具体的な\(x\)を代入して調べる」なんていう〇〇なことはやるべきじゃない。


増減表のかきかた(\(f^{\prime}(x)\)の行の埋め方)をまとめると,

増減表のかきかた(\(f^{\prime}(x)\)の行の埋め方)

となります。数学Ⅱにおいては,すべて②のみで片付きます。数Ⅲにおいてもほとんどが②’までで片付きます。

上の例から見て分かる通り,「具体的な\(x\)を代入して調べる」という手法が通用するのはせいぜい教科書の例題までで,やっていることは間違いではないものの,入試問題では応用が効かないのです。だからダメダメなんです。にもかかわらず,こんな手法をドヤ顔で教えるのはいかがなものでしょうかね。皆がそうしてるから,教科書にそう書いてあるから,は理由にならんでしょ…と個人的に思います。

囲まれる部分の面積 その6


上の曲線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は,いずれの場合も\[S = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{12}\]で表される.

証明

\(a>0\)のとき.まず\(\gamma\)を求める.そのためには,\(l_{1}(x),~l_{2}(x)\)を求めて連立すればよい.
\(l_{1}(x)\)を求めるために,\(f(x)-l_{1}(x)\)がどんな関数になるかを考える.これは,

      • \(2\)次式で,
      • 次数が一番大きい項の係数は\(a\)で,
      • \(x=\alpha\)で接している,すなわち\(f(x)-l_{1}(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\alpha\)である

ことに着目すると,\[f(x)-l_{1}(x) = a(x-\alpha)^2\]とかける.したがって\(l_{1}(x) = f(x) – a(x-\alpha)^2\).同様に考え,\(l_{2}(x) =f(x)- a(x-\beta)^2\).この\(2\)式から,
\begin{align*}
&f(x) – a(x-\alpha)^2 = f(x)- a(x-\beta)^2 \\
\Longleftrightarrow ~& (x-\alpha)^2 = (x-\beta)^2\\
\Longleftrightarrow ~& -2\alpha x +\alpha^2 = -2\beta x +\beta^2\\
\Longleftrightarrow ~& 2(\beta – \alpha) x = \beta^2 – \alpha^2\\
\Longleftrightarrow ~& x = \frac{\alpha + \beta}{2}\\
\end{align*}ゆえに\(\gamma = \frac{\alpha + \beta}{2}\).よって,求める面積\(S\)は,
\begin{align*}
S = \displaystyle &\int_\alpha^\gamma \{f(x)- l_{1}(x)\}dx + \int_\gamma^\beta \{f(x)- l_{2}(x)\}dx\\
=&\int_\alpha^\gamma a(x-\alpha)^2 dx + \int_\gamma^\beta a(x-\beta)^2 dx\\
=&a\left[\frac{(x-\alpha)^3}{3}\right]_\alpha^\gamma + a\left[\frac{(x-\beta)^3}{3}\right]_\gamma^\beta\\
=&\frac{a}{3}\left\{(\gamma-\alpha)^3 – (\gamma-\beta)^3\right\}\\
=&\frac{a}{3}\left\{\frac{(\beta-\alpha)^3}{8} – \frac{(\alpha-\beta)^3}{8}\right\}\\
=&\frac{a}{3\cdot 8}\left\{(\beta-\alpha)^3 + (\beta-\alpha)^3\right\}\\
=&\frac{a(\beta-\alpha)^3}{12}\\
=&\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{12}
\end{align*}

\(a<0\)のときも同様に計算すると,やはり\(\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{12}\)となる.

証明終

接線同士の交点が(接点がどのような位置であっても)結局\(\frac{\alpha+\beta}{2}\)で表されることは記憶しておくべきでしょう.

・・・ここまで数Ⅱ範囲で役立つ面積公式を6つ(,6)紹介しましたが,いずれも結果そのものよりもその導出過程の方が重要です.後半の公式になればなるほど使用頻度が低くなるので,当然,使わないがゆえに忘れ易くなる.したがって必要なときに自分で作れるようにしておくべきでしょう.導出過程さえ理解しておけば,「ああなんかそんなのあったなあ」くらいの意識さえあればその場で作れます.なにより使用頻度の低い公式の記憶を維持しようとするのはコスパ悪すぎですから.(テスト直前に付け焼き刃的に覚えるのはいいかな?邪道だけど・・・^^;)

囲まれる部分の面積 その5


上の曲線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は,いずれの場合も\[S = \frac{|a|(\beta-\alpha)^5}{30}\]で表される.

証明

(\(a>0\)の場合)

被積分関数\(f(x)-g(x)\)がどんな関数になるかを考える.これは,

      • \(4\)次式で,
      • 次数が一番大きい項の係数は\(a\)で,
      • \(x=\alpha\)と\(x=\beta\)で接する,すなわち\(f(x)-g(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\alpha,\beta,\beta\)である

ことに着目すると,\[f(x)-g(x) = a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\]とかける.したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 dx \\
=~&\frac{a(\beta-\alpha)^5}{30}\tag{3}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^5}{30}
\end{align*}

(\(a<0\)の場合)
上と同様に考え,
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)^2(x-\beta)^2 dx \\
=~&\frac{-a(\beta-\alpha)^5}{30}\tag{3}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^5}{30}
\end{align*}

以上により,いずれの場合も面積\(S\)は\[\frac{|a|(\beta-\alpha)^5}{30}\]で表されることになる.

証明終

\((3)\)はここの公式有名な定積分によります.

囲まれる部分の面積 その4


上の放物線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は,いずれの場合も\[S = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{3}\]で表される.

証明

\(a>0\)の場合と\(a<0\)の場合とで場合を分けて考える.

(\(a>0\)の場合)

被積分関数\(g(x)-f(x)\)がどんな関数になるかを考える.これは,

      • \(2\)次式で,
      • 次数が一番大きい項の係数は\(a\)で,
      • \(\alpha\)が重解,すなわち\(g(x)-f(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\alpha\)である

ことに着目すると,\[f(x)-g(x)=a(x-\alpha)^2\]とかける.したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2 dx = &a\left[\frac{(x-\alpha)^3}{3}\right]_{\alpha}^{\beta} = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{3}
\end{align*}

(\(a<0\)の場合)

上と同様に考え,
\begin{align*}
\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)^2 dx = &-a\left[\frac{(x-\alpha)^3}{3}\right]_{\alpha}^{\beta} = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{3}
\end{align*}

以上により,いずれの場合も面積\(S\)は\[\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{3}\]で表されることになる.

証明終

教科書等でもよく見るシチュエーションですが,教科書のように展開してゴチャゴチャ計算するのは悪手です.いつも通り\(f(x)-g(x)\)を特徴付ける情報に目をつけ,得られた被積分関数は(数学Ⅱのみの履修であっても)合成関数(のちに記事にします)とみなすべきです.公式として覚えてもよいですが,見ての通り証明は容易なので,これは結果を覚えるというより上のように計算した方がよいでしょう.

囲まれる部分の面積 その3

上の曲線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は,いずれの場合も\[S = \frac{|a|(\beta-\alpha)^4}{12}\]で表される.

証明

(① \(a>0\)で\(f(x)\)が上の場合)

被積分関数\(f(x)-g(x)\)がどんな関数になるかを考える.これは,

      • \(3\)次式で,
      • 次数が一番大きい項の係数は\(a\)で,
      • \(x=\alpha\)で交わり\(x=\beta\)で接する,すなわち\(f(x)-g(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\beta,\beta\)である

ことに着目すると,\[g(x)-f(x) = a(x-\alpha)(x-\beta)^2\]とかける.したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta)^2 dx \\
=~&\displaystyle a\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^2 dx\\
=~&\frac{a(\beta-\alpha)^4}{12}\tag{2}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^4}{12}
\end{align*}
(② \(a>0\)で\(f(x)\)が下の場合)

上と同様に考え,
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \{g(x)-f(x)\} dx \\
=~&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)^2(x-\beta) dx \\
=~&\displaystyle -a\int_{\alpha}^{\beta} (x-\beta)(x-\alpha)^2 dx\\
=~&\displaystyle a\int_{\beta}^{\alpha} (x-\beta)(x-\alpha)^2 dx\\
=~&\frac{a(\beta-\alpha)^4}{12}\tag{2}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^4}{12}
\end{align*}
(③ \(a<0\)で\(f(x)\)が上の場合)

\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \{f(x)-g(x)\} dx \\
=~&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)^2(x-\beta) dx \\
=~&\displaystyle a\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^2(x-\beta) dx\\
=~&\displaystyle -a\int_{\beta}^{\alpha} (x-\beta)(x-\alpha)^2 dx\\
=~&\frac{-a(\beta-\alpha)^4}{12}\tag{2}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^4}{12}
\end{align*}
(④ \(a<0\)で\(f(x)\)が下の場合)

\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \{g(x)-f(x)\} dx \\
=~&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta)^2 dx \\
=~&\displaystyle -a\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^2 dx\\
=~&\frac{-a(\beta-\alpha)^4}{12}\tag{2}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^4}{12}
\end{align*}
以上により,いずれの場合も面積\(S\)は\[\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}\]で表されることになる.

証明終

やはり,交点\(\alpha,\beta\)と\(a\)さえ分かってしまえば面積は求まってしまいます。\((2)\)はここの公式によります.

囲まれる部分の面積 その2


上の\(2\)つの放物線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は,\[S = \frac{|a’-a|(\beta-\alpha)^3}{6}\]で表される.

証明

被積分関数\(g(x)-f(x)\)がどんな関数になるかを考える.これは,

      • \(2\)次式で,
      • 次数が一番大きい項の係数は\(a’-a\)で,
      • \(x=\alpha,x=\beta\)で交わる,すなわち\(g(x)-f(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\beta\)である

ことに着目すると,\[g(x)-f(x) = (a’-a)(x-\alpha)(x-\beta)\]とかける.したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} (a’-a)(x-\alpha)(x-\beta) dx \\
=~&\displaystyle (a-a’)\int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta) dx\\
=~&\frac{(a-a’)(\beta-\alpha)^3}{6}\tag{1}\\
=~&\frac{|a’-a|(\beta-\alpha)^3}{6}
\end{align*}証明終

\(|a’-a|\)はもちろん\(|a-a’|\)でもいいです.要は上下関係なく機械的に‘係数の差’の絶対値をとればいい,ということです.\((1)\)はここの公式によります.

囲まれる部分の面積 その1


上の放物線と直線で囲まれる部分の面積\(S\)は,いずれの場合も\[S = \frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}\]で表される.

証明

\(a>0\)の場合と\(a<0\)の場合とで場合を分けて考える.

(\(a>0\)の場合)

被積分関数\(g(x)-f(x)\)がどんな関数になるかを考える.これは,

      • \(2\)次式で,
      • 次数が一番大きい項の係数は\(-a\)で,
      • 交点が\(\alpha,\beta\)すなわち\(g(x)-f(x)=0\)を解いて得られる\(2\)つの解が\(\alpha,\beta\)である

ことに着目すると,\[f(x)-g(x)=-a(x-\alpha)(x-\beta)\]とかける.したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} -a(x-\alpha)(x-\beta) dx \\
=~&\displaystyle a\int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta) dx\\
=~&\frac{a(\beta-\alpha)^3}{6}\tag{1}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}
\end{align*}

(\(a<0\)の場合)

被積分関数は\(f(x)-g(x)\)であるから,上と同様に考え,\[f(x)-g(x) = a(x-\alpha)(x-\beta)\]したがって求める部分の面積は
\begin{align*}
&\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(x-\beta) dx \\
=~&\displaystyle -a\int_{\alpha}^{\beta} -(x-\alpha)(x-\beta) dx\\
=~&\frac{-a(\beta-\alpha)^3}{6}\tag{1}\\
=~&\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}
\end{align*}
以上により,いずれの場合も面積\(S\)は\[\frac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}\]で表されることになる.

証明終

大事なポイントは被積分関数\(g(x)-f(x),~f(x)-g(x)\)を書くところです。これを実際に書き出して項を整理して因数分解を考え…などと愚直に計算するのは間違いではありませんがあまりよい手とは言えません。上で見たように,\(g(x)-f(x),~f(x)-g(x)\)を特徴付ける(3つの)要素さえ分かってしまえば即答できるわけですから。また,\((1)\)は定積分の有名公式によります。あの公式は具体的にはこんなシチュエーションで役に立つ,ということです。

結局,交点\(\alpha,\beta\)と係数\(a\)という情報だけで面積が求まってしまうということになります.

模試以上の問題ならばこの公式は(そのレベルの問題だとこれは単なる‘途中計算’に過ぎませんから)証明抜きで使っても問題ないと思われます.しかし学校のテストなどは立式~定積分の計算を問う意図もあるかと思うのでもしかしたら嫌がられるかもしれません.とはいえ,学校のテスト(=教科書の例題・練習題)だとぐちゃぐちゃ計算させようとする問題も多く,そんなのに付き合わせられるのもうざったらしいので,この証明を解答欄の脇にでもササっと記述して以降の問題を公式で済ませてしまうというのもひとつの手だと思います(証明する必要があるかどうかは,作問する先生に事前に確認しておくとよいでしょう).

他にも覚えておくと便利な公式があります。随時更新していきます.

有名な定積分

\[\displaystyle \int_\alpha^\beta -(x-\alpha)(x-\beta)dx = \frac{(\beta-\alpha)^3}{6}\tag{1}\]

証明
\begin{align*}
&\displaystyle \int_\alpha^\beta -(x-\alpha)(x-\beta)dx\\
= &\displaystyle \int_\alpha^\beta -(x-\alpha)\{x-\alpha-(\beta-\alpha)\}dx \\
= &\displaystyle \int_\alpha^\beta \{-(x-\alpha)^2+(\beta-\alpha)(x-\alpha)\}dx\\
= &\displaystyle \int_\alpha^\beta \{-(x-\alpha)^2+(\beta-\alpha)(x-\alpha)\}dx\\
= &\left[-\frac{(x-\alpha)^3}{3}+(\beta-\alpha)\frac{(x-\alpha)^2}{2}\right]_\alpha^\beta\\
= &-\frac{(\beta-\alpha)^3}{3}+\frac{(\beta-\alpha)^3}{2}\\
= &\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}
\end{align*}証明終

一行目でいきなり\(-(x-\alpha)(x-b)\)を展開するひとがいますが,それは悪手です.上のように,\((x-a)\)で展開しましょう.同様に,

\[\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)^2dx = \frac{(\beta-\alpha)^4}{12}\tag{2}\]

証明
\begin{align*}
&\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta)^2dx\\
= &\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)\{x-\alpha-(\beta-\alpha)\}^2dx \\
= &\displaystyle \int_\alpha^\beta \{(x-\alpha)^3-2(\beta-\alpha)(x-\alpha)^2+(\beta-\alpha)^2(x-\alpha)\}dx\\
= &\left[\frac{(x-\alpha)^4}{4}-2(\beta-\alpha)\frac{(x-\alpha)^3}{3}+(\beta-\alpha)^2\frac{(x-\alpha)^2}{2}\right]_\alpha^\beta\\
= &\frac{(\beta-\alpha)^4}{4}-2\frac{(\beta-\alpha)^4}{3}+\frac{(\beta-\alpha)^4}{2}\\
= &\frac{(\beta-\alpha)^4}{12}
\end{align*}証明終

これらの定積分はを覚えておくととても嬉しいことがあります.「\(6\)分の\(3\)乗公式」(マイナス注意),「\(12\)分の\(4\)乗公式」として記憶しておくとよいでしょう.

おまけ

\[\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2(x-\beta)^2dx = \frac{(\beta-\alpha)^5}{30}\tag{3}\]

証明
\begin{align*}
&\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2(x-\beta)^2dx\\
= &\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^2\{x-\alpha-(\beta-\alpha)\}^2dx \\
= &\displaystyle \int_\alpha^\beta \{(x-\alpha)^4-2(\beta-\alpha)(x-\alpha)^3+(\beta-\alpha)^2(x-\alpha)^2\}dx\\
= &\left[\frac{(x-\alpha)^5}{5}-2(\beta-\alpha)\frac{(x-\alpha)^4}{4}+(\beta-\alpha)^2\frac{(x-\alpha)^3}{3}\right]_\alpha^\beta\\
= &\frac{(\beta-\alpha)^5}{5}-\frac{(\beta-\alpha)^5}{2}+\frac{(\beta-\alpha)^5}{3}\\
= &\frac{(\beta-\alpha)^5}{30}
\end{align*}証明終

ちなみに,これらの式を一般化したものが,これです.