★P254

\(\mathbb{R}\)の開区間\(J=(0,\infty)\)の各点\(x\)に対し,\(f(x)=\frac{1}{x}\)として写像\(f:J\rightarrow \mathbb{R}\)を定義する.この写像は,明らかに(\(\mathbb{R}\)の部分距離空間としての)\(J\)から\(\mathbb{R}\)への連続写像である.

 
証明

示したいことは
\begin{align*}
&\forall a \in J \forall \epsilon >0 \exists \delta >0[d(x,a)<\delta \Rightarrow d'(f(x),f(a))<\epsilon]\\ \Longleftrightarrow~&\forall a \in J \forall \epsilon >0 \exists \delta >0\left[|x-a|<\delta \Rightarrow \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right|<\epsilon\right]\\
\end{align*}である.\[\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right|=\left|\frac{a-x}{xa}\right|=\frac{|x-a|}{|x||a|}<\frac{\delta}{|x||a|}<\epsilon\]
となるような\(\delta\)の存在を示したい.まず,\(0 <\delta < a\)と\(\delta\)を定める.すると\(|x-a| < \delta \Leftrightarrow (0 <)a-\delta < x < a+\delta\)より\((0 < )|a-\delta| < |x|\).また\((0 <)|a|-|\delta|\leq |a-\delta|\)であるから,\[\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right| <\frac{\delta}{|x||a|} < \frac{\delta}{|a-\delta||a|} < \frac{\delta}{(|a|-|\delta|)|a|}=\frac{\delta}{(|a|-\delta)|a|} \tag{1} \]したがって\(\frac{\delta}{(|a|-\delta)|a|}<\epsilon\)を満たすように\(\delta\)を定めればよい.\(
(2)~\frac{\delta}{(|a|-\delta)|a|} < \epsilon \Leftrightarrow~\delta < \frac{\epsilon |a^2|}{1+\epsilon|a|}\)であるが,\(\delta\)は\(\delta < a\)と定めたのであったから,改めて\(\delta\)を\[\delta < \min \left\{a,\frac{\epsilon |a^2|}{1+\epsilon|a|}\right\}\]を満たす\(\delta\)として定めればよい.実際,こうして定まる\(\delta\)を\(\delta^{\prime}\)とおけば,\(\delta^{\prime} < a,~\delta^{\prime} < \frac{\epsilon |a^2|}{1+\epsilon|a|}\)が成り立つので,上の不等式\((1),(2)\)(の\(\delta\)を\(\delta^{\prime}\)に変えたもの)が成り立ち,その\(2\)式から\(\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right| < \epsilon\)が得られる.

証明終

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