★P270

\((a_n)_{n\in \mathbb{N}},(b_n)_{n\in \mathbb{N}}\)を\(\mathbb{R}\)の点列とする.このとき\[\lim_{n\rightarrow \infty} a_n =a,~\lim_{n\rightarrow \infty} b_n =b,~a_n\leq b_n \Longrightarrow a \leq b\]

証明の途中で出てきました。直観的にはマジで明らかだけどちょっと気になったので調べてみます。高校数学ではこれをアタリマエとして使っていると思います。\(a_n\leq b_n\)はもちろん\(\forall n \in \mathbb{N} [a_n\leq b_n]\)の略記です。

証明

\[\lim_{n\rightarrow \infty} a_n =a,\lim_{n\rightarrow \infty} b_n =b,a_n\leq b_n \land a > b\]と仮定する.\(\forall \epsilon >0 \exists n_1\in \mathbb{N} [n>n_1 \Rightarrow d(a_n,a)<\epsilon]\)であるから\(\epsilon\)として例えば\(\frac{a-b}{3}>0\)をとると,
\begin{align*}
d(a_n,a)<\frac{a-b}{3}\Longleftrightarrow~&|a_n-a| < \frac{a-b}{3}\\ \Longleftrightarrow~&-\frac{a-b}{3}< a_n-a < \frac{a-b}{3}\\ \Longleftrightarrow~&a-\frac{a-b}{3}< a_n < a+\frac{a-b}{3}\\ \end{align*}他方,\(\forall \epsilon >0 \exists n_2\in \mathbb{N} [n>n_2 \Rightarrow d(b_n,b)<\epsilon]\)であるから上と同様に\(\epsilon=\frac{a-b}{3}>0\)として\[d(b_n,b)<\frac{a-b}{3}\Longleftrightarrow~b-\frac{a-b}{3}< b_n < b+\frac{a-b}{3}\]ここで,\[a-\frac{a-b}{3}-\left(b+\frac{a-b}{3}\right)=\frac{a-b}{3}>0\]これは\(a_n \leq b_n\)に反する.

証明終

これで安心(^^)!(死んだ目)

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