★P218

一方,\(M\)は\(\mathbb{R}\)の閉集合であるから,明らかに,それらの上限および下限はともに\(M\)に属さなければならない

 

証明

\(M=[a,b]\)とおくとき,\(c = \sup M \notin M\)と仮定する.\[c=\sup M \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \left\{
\begin{array}{l}
\forall x \in M[x\leq c] \cdots(1)\\
\forall x \in M[x\leq c^{\prime}]\Rightarrow c \leq c^{\prime}\cdots(2)\\
\end{array}
\right.\]であるから,\((1)\)において\(b\in M\)より\(b \leq c\).\((2)\)の仮定を満たす\(c^{\prime}\)として\(b\)が挙げられるので,\(c \leq b\).ここで\(c=b\)と仮定すると\(b \in M\)だから\(c \in M\)となり\(c \notin M\)に反する.したがって\(c < b\).しかしこれは\(b \leq c\)と矛盾する.下限についても同様.よって\(\sup M \in M,~\inf M \in M\)である.

証明終