★P166

この\(\mathfrak{O}^{(1)}\)は,(中略)また明らかに,どの\(\mathfrak{O}_\alpha\)よりも弱い位相のうちでは最も強いものである.

 

証明

どの\(\mathfrak{O}_\alpha\)よりも弱い位相を\(\mathfrak{O}’\)とおく.すなわち\(\forall a \in A [\mathfrak{O}’ \subset \mathfrak{O}_\alpha]\)とする.このとき,\(\mathfrak{O}^{(1)}:= \displaystyle \bigcap_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \supset \mathfrak{O}’\)である.実際,\(O \in \mathfrak{O’}\)とすれば,\(\forall a \in A [\mathfrak{O}’ \subset \mathfrak{O}_\alpha]\)により\(\forall a \in A [O \in \mathfrak{O}_{\alpha}]\).ゆえに\(O \in \displaystyle\bigcap_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\).したがって\(\mathfrak{O}^{(1)} \supset \mathfrak{O}’\).
\(\mathfrak{O’}\)は(どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも弱い)任意の位相であったから,\(\mathfrak{O}^{(1)}\)が(どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも弱い位相のうちで)最も強い位相となる.

証明終

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