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しかし,\(\mathfrak{O’} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)は必ず存在するから(中略),そのような\(\mathfrak{O}’\)全部の共通部分を\(\mathfrak{O}^{(2)}\)とすれば,明らかに\(\mathfrak{O}^{(2)}\)はどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相で,しかもどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相のうちでは最も弱い位相となる.

 

証明

前半.\((\mathfrak{O’}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\)を\(\mathfrak{O’}\supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)から成る任意の集合族とする.\((\mathfrak{O}^{(2)}:=)\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{O’}_{\lambda} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \supset \mathfrak{O}_{\alpha}\).なぜなら,\(O\in\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)とすれば仮定により\(\forall \lambda \in \Lambda [\mathfrak{O’}_{\lambda} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \mathfrak{O}_{\alpha} \ni O]\)だから\(\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda} \mathfrak{O’}_{\lambda} \ni O\).よって\(\forall \alpha \in A [\mathfrak{O}^{(2)}\supset \mathfrak{O}_{\alpha}]\).ゆえに\(\mathfrak{O}^{(2)}\)は(位相であるとすれば)どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相である.

次にこの\(\mathfrak{O}^{(2)}\)が位相となることを示す.

\((\mathrm{Oi})\) 任意の\(\lambda \in \Lambda\)に対して,\(\mathfrak{O’}_{\lambda}\in \mathcal{J}\)であるから,\(\phi,S \in\mathfrak{O’}_{\lambda}\).ゆえに\(\phi,S \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)
\((\mathrm{Oii})\) \(\displaystyle O_1,O_2 \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)とする.このとき,すべての\(\lambda \in \Lambda\)に対して,\(O_1,O_2 \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\)である.\(\mathfrak{O’}_{\lambda}\in \mathcal{J}\)であるから,\(O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\).したがって\(O_1 \cap O_2 \in \displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}=\mathfrak{O}^{(2)}\)
\((\mathrm{Oiii})\) \((O_{\mu})_{\mu \in M}\)を\(\mathfrak{O}^{(2)}=\displaystyle\bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda}\)の元からなる任意の集合族とする.このとき,すべての\(\lambda \in \Lambda\)に対して,\(O_\mu \in \mathfrak{O’}_{\lambda}~(\forall \mu \in M)\)である.\(\mathfrak{O’}_{\lambda} \in \mathcal{J}\)であるから,\(\displaystyle\bigcup_{\mu \in M}O_\mu \in \mathfrak{O’}_{\lambda}\).\(\lambda\)は任意であるから,\(\displaystyle\bigcup_{\mu \in M}O_\mu \in \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda} = \mathfrak{O}^{(2)}\).
以上により\(\mathfrak{O}^{(2)}\)は位相である.

後半.どの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相を\(\mathfrak{O}”\)とおく.すなわち\(\forall \alpha \in A[\mathfrak{O}_{\alpha} \subset \mathfrak{O”}]\)とする.このとき,\(\displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha} \subset \mathfrak{O”}\).ここで,\((\mathfrak{O’}_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}\)は\(\mathfrak{O’} \supset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A}\mathfrak{O}_{\alpha}\)となるような\(\mathcal{J}\)の元\(\mathfrak{O’}\)から成る任意の集合族であったから,\(\mathfrak{O}” \in \{\mathfrak{O’}_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}\).したがって\(\mathfrak{O}^{(2)}:=\displaystyle \bigcap_{\lambda \in \Lambda}\mathfrak{O’}_{\lambda} \subset \mathfrak{O”}\).よって\(\mathfrak{O}^{(2)}\)はどの\(\mathfrak{O}_{\alpha}\)よりも強い位相のうちで最も弱い位相となる.

証明終

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