解の公式

解の公式\(a \neq 0\)とする.\[ax^2+bx+c=0\]の解は,\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]で与えられる.

ちょうど今時期の中学3年生が学ぶ\(2\)次方程式の解の公式です。中学では天下りに与えられ「覚えろ」の一言で済まされることがほとんどだと思いますし,僕自身も授業では証明は割愛しますといって飛ばしがちなので,ここに証明しておきます。見た目は難しそうですが,中学生でも一応既習の知識のみで理解できるはずです。文字の煩雑さに惑わされず,式をよーく睨んで意味を読み取ってみましょう。やっていることはごくごくシンプルです。

証明

\begin{align*}
&ax^2+bx+c=0\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c=0\tag{1}\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=0\tag{2}\\
\Longleftrightarrow&~a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c=0\tag{3}\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-a\cdot\frac{b^2}{4a^2}+c=0\tag{4}\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a}-c\\
\Longleftrightarrow&~a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}\\
\Longleftrightarrow&~\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\
\Longleftrightarrow&~\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\tag{5}\\
\Longleftrightarrow&~\sqrt{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{(2a)^2}}\\
\Longleftrightarrow&~\left|x+\frac{b}{2a}\right|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\left|2a\right|}\tag{6}\\
\Longleftrightarrow&~x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{7}\\
\Longleftrightarrow&~x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\Longleftrightarrow&~x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}

証明終

\((1)\)は2つめの項までを\(a\)でくくりました。
\((2)\)は\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)をたして,ひきました。プラマイゼロになるので結局\(0\)を加えているに過ぎず,したがって問題ありません。なぜそんなことをするのかというと,
\((3)\)で因数分解の公式\(x^2+2Ax+A^2=(x+A)^2\)が使えるようにするためです。
\((4)\)は分配法則により\(a\)を分配し,
\((5)\)は辺々\(\sqrt{ }\)をとりました。
\((6)\)は\(\sqrt{A^2}\)の定義を思い出しましょう。\(\sqrt{A^2}\)とは,「\(2\)乗して\(A^2\)となる正の数」でした。それは何ですか?「\(A\)」と答えた人,甘い。\(A\)が負の数である可能性は?例えば,\(A=-1\)なら?\(\sqrt{(-1)^2}=-1\)ってこと?「正の数」と定義したのに,負の数??おかしい。つまり,\(A\)がたとえ負の数であっても,正の数として表したいわけです。いわば,\(A\)の中身が正であろうが負であろうが,正の数として表したい。そんなときのための記号が,絶対値でしたね(絶対値の定義を「距離」として覚えてる人がいますが,今すぐ止めましょう)。なので\(\sqrt{A}=|A|\)
\((7)\)絶対値の“中身”の起こり得る組合せに着目して
\begin{align*}
&\text{\(x\)+\(\frac{b}{2a}\)が正,\(2a\)が正}\\
&\text{\(x\)+\(\frac{b}{2a}\)が正,\(2a\)が負}\\
&\text{\(x\)+\(\frac{b}{2a}\)が負,\(2a\)が正}\\
&\text{\(x\)+\(\frac{b}{2a}\)が負,\(2a\)が負}\\
\end{align*}の4通りの組み合わせがあることに注意すれば
\begin{align*}
(6)\Longleftrightarrow &+\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{+(2a)} \lor +\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{-(2a)}\\
&\lor-\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{+(2a)} \lor -\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{-(2a)}\\
\Longleftrightarrow &\left(x+\frac{b}{2a}\right)=+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \lor \left(x+\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&\lor \left(x+\frac{b}{2a}\right)=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \lor \left(x+\frac{b}{2a}\right)=+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\Longleftrightarrow &x+\frac{b}{2a}=+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \lor x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
\Longleftrightarrow &x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align*}となります。