Schuwarzの不等式

不等式

\[\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^2} \leq \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2} + \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i^2}\]

を証明します.

証明
\begin{align*}
&\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^2} \leq \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2} + \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i^2}\\
\Longleftrightarrow~&\displaystyle \sum_{i=1}^n (a_i+b_i)^2 \leq \displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2 +2\sqrt{\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i^2\right)} + \displaystyle \sum_{i=1}^n b_i^2\\
\Longleftrightarrow~&\displaystyle \sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \displaystyle \sqrt{\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\\
\Longleftarrow~&\displaystyle \left|\sum_{i=1}^n a_ib_i \right| \leq \displaystyle \sqrt{\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\quad\text{※ 十分条件}\\
\Longleftrightarrow~&\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \leq \displaystyle \left(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n b_i^2\right)
\end{align*}
したがって,最後の不等式を証明すればよい.ここで,天下りではあるが,\[\displaystyle \sum_{i=1}^n (a_ix+b_i)^2\]という式を考える.平方の和なので,これはもちろん正であることに着目して,
\begin{align*}
&\displaystyle \sum_{i=1}^n (a_ix+b_i)^2 \geq 0\\
\Longleftrightarrow~&\displaystyle \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)x^2+2\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)x + \sum_{i=1}^nb_i^2 \geq 0\\
\Longleftrightarrow~&\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2-\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right) \leq 0\quad\text{※ 判別式}\\
\Longleftrightarrow~&\left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right)\\
\end{align*}証明終

途中の不等式はSchuwarzの不等式と呼ばれます.

Schuwarzの不等式
\[\left(\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2 \leq \left(\sum_{i=1}^n a_{i}^2 \right)\left(\sum_{i=1}^n b_{i}^2 \right)\]すなわち
\[(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2 \leq (a_{1}^2+a_{2}^2+\cdots + a_{n}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+\cdots + b_{n}^2)\]

\(n=2,3\)の場合の証明は数学Ⅱの練習問題でお馴染みですが,一般の場合は上のように証明するのが有名です.