松坂和夫先生の「集合と位相」を読んでいて，次のような記述に出会いました．
その理由が，
実際，\(y\)を\(x\)と異なる\(S\)の点とすれば，\(x\)を含まない\(y\)の近傍があるから，\(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない．
だそうです．なるほど，わからない．さんざん調べ，悩んだ末…（ ＾ω＾）
証明
\(S\)をHousdorff空間とする．１点\(x\in S\)をとる．\(y \in S-\{x\}\)を任意にとれば，\(x \neq y\)なので，\[U \in \mathbb{V}(x),~V \in \mathbb{V}(y),~U\cap V = \phi\]をみたす\(U,~V\)が存在する．このとき，\[y \in V \subset S-U \subset S-\{x\}\]\(V \subset S-\{x\}\)であることに着目すると，\(V \in \mathbb{V}(y)\)であるから，\(S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)\)である(※１)．\(y\)は\(S-\{x\}\)における任意の元であったから，結局\[\forall y \in S-\{x\}[S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)]\]が言えたことになる．ここで，
\[
\begin{align*}
\forall y \in S-\{x\}[S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)]\Longleftrightarrow~ S-\{x\} \in \mathfrak{O}
\end{align*}
\]であるから（※２），
\[
\begin{align*}
S-\{x\} \in \mathfrak{O}~\Longleftrightarrow~ &(S-\{x\})^c \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &(S\cap\{x\}^c)^c \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &S^c\cup\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &\phi\cup\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &\{x\} \in \mathfrak{A}
\end{align*}
\]証明終
…でぎだっ！！
※１の証明
証明
\(V \in \mathbb{V}(x) \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} x \in V^{i}\)であることと，\(V \subset V’ \Longrightarrow V^i \subset V’^i\)であることから，
\[
\begin{align*}
V \in \mathbb{V}(x), V \subset V’ \Longrightarrow~&x \in V^{i},V^i \subset V’^i\\
\Longrightarrow~&x \in V^{i}\subset V’^i\\
\Longrightarrow~&x \in V’^i\\
\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}~& V’\in \mathbb{V}(x)
\end{align*}
\]証明終
※２の証明
証明
\begin{align*}
\forall x \in O[O \in \mathbb{V}(x)]\Longleftrightarrow~&\forall x[x \in O \rightarrow x \in O^i]\\
\Longleftrightarrow~&x \in O \Rightarrow x \in O^i\\
\Longleftrightarrow~& O \subset O^i\\
\Longleftrightarrow~& O = O^i\\
\Longleftrightarrow~& O \in \mathfrak{O}
\end{align*}証明終
…とりあえずこれで片付いたのでよかったんだけど，本にあった
実際，…（中略）… \(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない．
とは何だったのか…？落ち着いて調べてみると，
任意の\(y \in S-\{x\}\)に対して，
\begin{align*}
\text{\(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない}\Longleftrightarrow~& y \notin \overline{\{x\}}\\
\Longleftrightarrow~&y \notin \{x\}^a\\
\Longleftrightarrow~&y \in \{x\}^{ac}\\
\Longleftrightarrow~&y \in \{x\}^{ci}\\
\Longleftrightarrow~&y \in (S-\{x\})^{i}\\
\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}~&S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)\\
\Longleftrightarrow~&S-\{x\} \in \mathfrak{O}&\text{∵上の※２}\\
\Longleftrightarrow~&\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\end{align*}
というわけですね．なるほど．（ここまでで半日以上潰す）