ベクトルの便利公式

\(\triangle{\mathrm{ABC}}\)において,\(\triangle{\mathrm{PBC}}:\triangle{\mathrm{PCA}}:\triangle{\mathrm{PAB}}=a:b:c~\)のとき,\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{a+b+c}(b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}})\]

 

 

証明

直線\(\mathrm{AP}\)と辺\(\mathrm{BC}\)との交点を\(\mathrm{D}\)とおくと,\(\triangle{\mathrm{PCA}}:\triangle{\mathrm{PAB}}=b:c\)より\(\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=c:b\)であるから,内分の公式により\[\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{c+b}\]
また,凹四角形\(\mathrm{ABPC}\)と\(\triangle{\mathrm{PBC}}\)の面積比が\(b+c:a\)であることから\(\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=b+c:a\)だから\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\]
この\(2\)式により
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{AP}}=&\frac{b+c}{a+b+c}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\\
=&\frac{b+c}{a+b+c}\frac{1}{b+c}(b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}})\\
=&\frac{1}{a+b+c}(b\overrightarrow{\mathrm{AB}}+c\overrightarrow{\mathrm{AC}})
\end{align*}

証明終

幾何の問題でおなじみ「底辺が等しければ面積比=高さの比」を利用します。この公式は例のあの問題で役立ちます:

\(\Delta \mathrm{OAB}\)において,辺\(\mathrm{OA}\)の中点を\(\mathrm{C}\),辺\(\mathrm{OB}\)を\(2:1\)に内分する点を\(\mathrm{D}\)とし,線分\(\mathrm{AD}\)と線分\(\mathrm{BC}\)の交点を\(\mathrm{P}\)とする.\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\)とするとき,\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)を\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)を用いて表せ.

解答

\(\mathrm{OC:CA}=1:1\)であるから,\(\triangle{\mathrm{PBO}}:\triangle{\mathrm{PBA}}=1:1\)
また,\(\mathrm{OD:DB}=2:1\)であるから,\(\triangle{\mathrm{PAO}}:\triangle{\mathrm{PAB}}=2:1\)
よって,\(\triangle{\mathrm{PAO}}:\triangle{\mathrm{PAB}}:\triangle{\mathrm{PBO}}=2:1:1\)
上の公式により,
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}=&\frac{1}{2+1+1}(1\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}})\\
=&\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{OB}}
\end{align*}

解答終

というように早くて楽…なんですが,しかしこれは教科書に載っていないため,試験で使ってよいかというと微妙なところだと思います。(証明を含めてかけばもちろん問題はないけど,それだと時間がかかり本末転倒)

なので,検算に用いるとよいと思います。

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