連立方程式の解法は…「文字を減らす」方針？その２

下の記事を見直してたらちょっと気になったので一言．「文字を減らす」という方針について以前の記事に追加です．

です．

（理由）
\(\Rightarrow\)は第１式の\(s\)と\(t\)に第２，３式により\(s=g(x,y),~t=h(x,y)\)をそれぞれ代入すれば得られます．
\(\Leftarrow\)はは第１式の\(g(x,y)\)と\(h(x,y)\)を第２，３式により\(g(x,y)=s,~h(x,y)=t\)とおき直せば得られます．（ちなみにこれは，もし第２，３式\(g(x,y)=s,~h(x,y)=t\)がなければ逆が成り立たない，すなわち
\[
\begin{cases}
f(s,~t)=0\\
s=g(x,y)\\
t=h(x,y)
\end{cases}
\Longrightarrow
f(g(x,y),~h(x,y))=0\\
\]
であることを意味します．）

…（同値性という観点から言えば）文字は別に減らしてなんかいないことに注意．

しかしもし，
\[
\exists s \exists t\begin{cases}
f(s,~t)=0\\
s=g(x,y)\\
t=h(x,y)
\end{cases}
\]
なら，存在記号を処理することで，

となります．見た目通り，文字\(s,t\)は消えます．