同じ基本ベクトル同士の外積は，\(\overrightarrow{0}\)になります．なぜなら，同じベクトルですからその２つのベクトルが作る平行四辺形の面積は０であるから，外積の大きさも０（外積の定義ⅲを参照），したがって\(\overrightarrow{0}\)です．
異なる基本ベクトル同士の外積ならどうでしょうか．たとえば，\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)を考えてみます．
\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)とは，外積の定義ⅰとⅱにより，図１に示す赤いベクトルであるといえます．さらに，\(\overrightarrow{e_1}\)と\(\overrightarrow{e_2}\)が作る平行四辺形は，正方形ですから，その面積は\(1\times1=1\)です．したがって，先ほどの赤いベクトル\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)の大きさは\(1\)である，と言えます（図２参照）．
以上により，\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)は上の図の赤いベクトルで，しかもその大きさは\(1\)であることが分かります．このベクトルはほかならぬ\(\overrightarrow{e_3}\)ですね．同様に考え，\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}\)や\(\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_2}\)なども導出できます．