★上に有界で単調増加な数列は収束する

上に有界で単調増加な数列\[a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots \leq a_n\leq \cdots\]は収束する.

証明

上に有界であるから,上界が存在し,したがって上限(最小の上界)が存在する(なぜ?).この上限を\(c\)とおき,この\(c\)に収束することを以下に示す.

任意の\(\epsilon>0\)に対して,\(c-\epsilon\)を考える.今,\(c\)が上限,すなわち最小の上界であるから,\(c-\epsilon\)はもはや上界ではない.したがって,\(c-\epsilon\)より大きく\(c\)以下の項(☆)が存在する.
\[a_1\leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots \leq a_n \leq \cdots \leq c-\epsilon < \text{(☆)} \leq c\]
(☆)の項たちを
\[a_N \leq a_{N+1} \leq a_{N+2} \leq \cdots\]
とおく.すると,
\[c-\epsilon < a_N \leq a_{N+1} \leq a_{N+2} \leq \cdots \leq c < c+\epsilon \]
すなわち,\(N\)以上の\(i\)について
\[|a_{i}-c|<\epsilon\] が成り立つ.また,この\(N\)は,\(\epsilon\)に応じて定まる(存在する)ので,結局 \[\forall \epsilon>0 \exists N \big[i > N \Longrightarrow |a_{i}-c|<\epsilon\big]\]
と言える.したがって
\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=c\]
よって数列\(\{a_n\}\)は収束する.(証明終)

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