★P169

\(\mathfrak{B}\)が\(\mathfrak{O}\)の基底ならば,明らかに\(\mathfrak{O}=\mathfrak{O}(\mathfrak{B})\)

 

証明

\(\mathfrak{B}\)が\(\mathfrak{O}\)の基底であるとする.すなわち,\(\mathfrak{B} \subset \mathfrak{O}\)で,\(\forall O \in \mathfrak{O}\exists (W_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda} [O=\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda},W_{\lambda}\in \mathfrak{B}]\)とする.示したいことは\(\mathfrak{O}=\mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \Longleftrightarrow \mathfrak{O} \subset \mathfrak{O}(\mathfrak{B}), \mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \subset \mathfrak{O}\)である.

\(\mathfrak{O} \subset \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\)であること:
\((\mathfrak{O}_{\mu})_{\mu \in M}\)を\(\mathfrak{B}\)を含む位相から成る任意の集合族とすると,\(\mathfrak{O}(\mathfrak{B})=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu},\mathfrak{B}\subset \mathfrak{O}_{\mu}\)と表せる.\(O \in \mathfrak{O}\)とする.このとき,仮定により\(O=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}{W}_{\lambda}\)と書ける.任意の\(\lambda \in \Lambda\)に対して\(W_{\lambda} \in \mathfrak{B} \subset \mathfrak{O}_{\mu}~(\forall \mu \in M)\).よって\(\mathfrak{O}_{\mu}\)は位相だから\((\mathbf{Oiii})\)により\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda} \in \mathfrak{O}_{\mu}~(\forall \mu \in M)\).ゆえに,\(O=\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}W_{\lambda} \in \displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu} = \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\).

\(\mathfrak{O}(\mathfrak{B}) \subset \mathfrak{O}\)であること:
\(O \in \mathfrak{O}(\mathfrak{B})\left(=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu}\right)\)とする.仮定により\(\mathfrak{B}\subset \mathfrak{O}\).ここで,\((\mathfrak{O}_{\mu})_{\mu \in M}\)は\(\mathfrak{B}\)を含む位相から成る任意の集合族であったから,\(\mathfrak{O} \in \{\mathfrak{O}_{\mu}\}_{\mu \in M}\).したがって\(O \in \mathfrak{O}(\mathfrak{B})=\displaystyle\bigcap_{\mu \in M}\mathfrak{O}_{\mu}\subset \mathfrak{O}\).

証明終

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