★P179

上の\((\mathrm{iii})\)は明らかに次のように述べかえられる.
\((\mathrm{iii})’\)\(x_0\)の\(S\)の任意の点,\(\epsilon\)を任意の正の実数とするとき,\(x_0\)の適当な近傍\(V\)をとれば,\(V\)に属するすべての点\(x\)に対して\[|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\]が成り立つ.

 

\(x_0\)の\(S\)の任意の点,\(\epsilon\)を任意の正の実数とする.
\begin{align*}
V’ \in \mathbb{V}_{\mathbb{R}}(f(x_0))\Longrightarrow~&f^{-1}(V’) \in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&f^{-1}((f(x_0)-\epsilon,f(x_0)+\epsilon)) \in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&\{x | x \in S, f(x_0)-\epsilon < f(x) < f(x_0)+\epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)\\
\Longleftrightarrow~&\{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)&(\mathrm{iii})\\
\Longleftrightarrow~&\exists V \in \mathbb{V}_{S}(x_0)[x \in V \Rightarrow |f(x) – f(x_0)| < \epsilon]&(\mathrm{iii})’
\end{align*}

証明

\((\mathrm{iii})\Leftarrow(\mathrm{iii})’\)
仮定により,\begin{align*}
&x \in V \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon\\
\Longleftrightarrow~&x \in V \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S &(\text{なぜなら}V \in \mathbb{V}_S(x_0))\\
\Longleftrightarrow~&x \in V \Rightarrow x \in \{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\}\\
\Longleftrightarrow~&V \subset \{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\}
\end{align*}\(V \in \mathbb{V}_S(x_0)\)であるから,P161定理\(10(\mathrm{Vii})\)により\(\{x | |f(x)-f(x_0)| < \epsilon \land x \in S\} \in \mathbb{V}_S(x_0)\).

\((\mathrm{iii})\Rightarrow (\mathrm{iii})’\)
仮定の\(\{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\in \mathbb{V}_{S}(x_0)\)が結論で示すべき\(V\)である.実際,\(x \in \{x | x \in S, |f(x) – f(x_0)| < \epsilon\}\)とすれば,\(x \in S\)かつ\(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)すなわち\(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)が言える.

証明終

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