★Housdorff空間における1点集合

松坂和夫先生の「集合と位相」を読んでいて,次のような記述に出会いました.

任意のHousdorff空間\(S\)において,ただ1点のみからなる集合\(\{x\}\)は\(S\)の閉集合である.

その理由が,

実際,\(y\)を\(x\)と異なる\(S\)の点とすれば,\(x\)を含まない\(y\)の近傍があるから,\(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない.

 

だそうです.なるほど,さんざん調べ,悩んだ末…( ^ω^)

証明

\(S\)をHousdorff空間とする.1点\(x\in S\)をとる.\(y \in S-\{x\}\)を任意にとれば,\(x \neq y\)なので,\[U \in \mathbb{V}(x),~V \in \mathbb{V}(y),~U\cap V = \phi\]をみたす\(U,~V\)が存在する.このとき,\[y \in V \subset S-U \subset S-\{x\}\]\(V \subset S-\{x\}\)であることに着目すると,\(V \in \mathbb{V}(y)\)であるから,\(S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)\)である(※1).\(y\)は\(S-\{x\}\)における任意の元であったから,結局\[\forall y \in S-\{x\}[S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)]\]が言えたことになる.ここで,
\[
\begin{align*}
\forall y \in S-\{x\}[S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)]\Longleftrightarrow~ S-\{x\} \in \mathfrak{O}
\end{align*}
\]であるから(※2),
\[
\begin{align*}
S-\{x\} \in \mathfrak{O}~\Longleftrightarrow~ &(S-\{x\})^c \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &(S\cap\{x\}^c)^c \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &S^c\cup\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &\phi\cup\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &\{x\} \in \mathfrak{A}
\end{align*}
\]証明終

…でぎだっ!!

※1の証明

\[ V \in \mathbb{V}(x), V \subset V’ \Longrightarrow V’ \in \mathbb{V}(x)\]

証明
\(V \in \mathbb{V}(x) \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} x \in V^{i}\)であることと,\(V \subset V’ \Longrightarrow V^i \subset V’^i\)であることから,
\[
\begin{align*}
V \in \mathbb{V}(x), V \subset V’ \Longrightarrow~&x \in V^{i},V^i \subset V’^i\\
\Longrightarrow~&x \in V^{i}\subset V’^i\\
\Longrightarrow~&x \in V’^i\\
\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}~& V’\in \mathbb{V}(x)
\end{align*}
\]証明終

※2の証明

\[ \forall x \in O[O \in \mathbb{V}(x)]\Longleftrightarrow~ O \in \mathfrak{O}\]

証明
\begin{align*}
\forall x \in O[O \in \mathbb{V}(x)]\Longleftrightarrow~&\forall x[x \in O \rightarrow x \in O^i]\\
\Longleftrightarrow~&x \in O \Rightarrow x \in O^i\\
\Longleftrightarrow~& O \subset O^i\\
\Longleftrightarrow~& O = O^i\\
\Longleftrightarrow~& O \in \mathfrak{O}
\end{align*}証明終

…とりあえずこれで片付いたのでよかったんだけど,本にあった

実際,…(中略)… \(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない.

 

とは何だったのか…?落ち着いて調べてみると,

任意の\(y \in S-\{x\}\)に対して,
\begin{align*}
\text{\(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない}\Longleftrightarrow~& y \notin \overline{\{x\}}\\
\Longleftrightarrow~&y \notin \{x\}^a\\
\Longleftrightarrow~&y \in \{x\}^{ac}\\
\Longleftrightarrow~&y \in \{x\}^{ci}\\
\Longleftrightarrow~&y \in (S-\{x\})^{i}\\
\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}~&S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)\\
\Longleftrightarrow~&S-\{x\} \in \mathfrak{O}&\text{∵上の※2}\\
\Longleftrightarrow~&\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\end{align*}
というわけですね.なるほど.(ここまでで半日以上潰す)

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