★P172

\(x\)を1つの基本近傍系\(\mathbb{V}^*(x)\)を知れば,それから直ちに,\(x\)の(全)近傍系\(\mathbb{V}^*(x)\)を求めることができる.実際,定義から明らかに\(\mathbb{V}^*(x)\)はある\(U\in\mathbb{V}^*(x)\)を含むような\(S\)の部分集合全体から成る集合系となるからである:\[\mathbb{V}(x)=\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\]

 

証明

\(\mathbb{V}(x) \subset \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\)であること:
\begin{align*}
\text{\(\mathbb{V}^*(x)\)が\(x\)の基本近傍系}\Longleftrightarrow~&\forall V \in \mathbb{V}(x) \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\\
\Longleftrightarrow~&\forall V [V \in \mathbb{V}(x) \rightarrow \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]]\\
\Longleftrightarrow~& V \in \mathbb{V}(x) \Rightarrow \exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\\
\Longleftrightarrow~& \mathbb{V}(x) \subset \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\}
\end{align*}

\(\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\} \subset \mathbb{V}(x)\)であること:
\(V \in \{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\}\)を任意にとる.このとき\(\exists U \in \mathbb{V}^*(x)[U \subset V]\).\(\mathbb{V}^*(x)\)は基本近傍系であるから,その定義により\(\mathbb{V}^*(x) \subset \mathbb{V}(x)\).よって\(U \in \mathbb{V}(x)\).また\(U \subset V\)であるから,定理\(10(\mathbf{V}\mathrm{ii})\)により\(V \in \mathbb{V}(x)\).したがって\(\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\} \subset \mathbb{V}(x)\).

以上により\[\mathbb{V}(x)=\{V|\exists U \in \mathbb{V}^*(x)(U \subset V)\}\]

証明終

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