いわゆる「場合分け」って

\(ax^2-2x-a=0\)を解け.ただし,\(a\)は定数とする.

「(ア)\(a=0\)のとき~(イ)\(a\neq0\)のとき~,」という,\(a\)が0かどうかで場合分けするお馴染みの問題です。これを論理式で記述すると

\[
\begin{align*}
&ax^2-2x-a=0 \land(a=0 \lor a \neq 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (ax^2-2x-a=0 \land a=0) \lor (ax^2-2x-a=0 \land a \neq 0)\\
\Longleftrightarrow~ & (0-2x-0=0 \land a=0) \lor \left(x=\frac{1\pm\sqrt{1^2-a\cdot(-a)}}{a} \land a \neq 0 \right)\\
\Longleftrightarrow~ & (x = 0 \land a=0) \lor \left(x=\frac{1\pm\sqrt{1+a^2}}{a} \land a \neq 0 \right)
\end{align*}
\]

となります。

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