シグマ計算の工夫

教科書には次の式が公式として載っています.\[\sum^n_{k=1}ar^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]これは「公式」なのだから覚えるべきなのでしょうか?

結論から言えば,これは覚えるべき式ではありません.次のように考えましょう:

\[\sum\text{の後ろが\(r^{n}\)の形をしている}\]
ことからこれは等比数列の和であることが見て取れます.ここが最大のポイント.
等比数列の和の公式を思い出しましょう.等比数列の和の公式で必要な情報は,初項,公比,項数,の3つの情報でした.それらさえ分かればいい.\(\sum^n_{k=1}ar^{n-1}\)から読み取ってみましょう.

初項は?\(ar^{n-1}\)に\(n=1\)を代入すればよいでしょう.\(ar^{1-1}=ar^{0}=a\)です.

公比は?これは式の形からただちに\(r\)と分かります.

項数は?\(\sum^n_{k=1}\),すなわち項は\(1\)から\(n\)までありますから\(n\)個です.

したがって,等比数列の和の公式にこれらを代入し,\[\frac{a(1-r^n)}{1-r}\]が得られます.

練習に次の問題をやってみましょう.

\[(1)~\sum^{10}_{k=6}2\cdot 3^k\hspace{40mm}(2)~\sum^{2n-1}_{k=m}5^{2k-1}\]

\((1)\)

初項は?\(2\cdot 3^k\)に\(k=1\)と代入すればよいでしょう.\(2\cdot 3^1=6\)です.

公比は?式の形から,\(3\)です.

項数は?\(10-6+1=5\)です.

したがって,求める和は\[\frac{6(1-3^5)}{1-3}=\frac{6(3^5-1)}{2}=3^6-3=726\]となります.

\((2)\)

初項は?\(5^{2k-1}\)に\(k=m\)と代入すればよいでしょう.\(5^{2m-1}\)です.

公比は?\(5^{2k-1}=5^{2k}\cdot5^{-1}=\frac{1}{5}25^k\)であることに注意して,\(25\)です.

項数は?\((2n-1)-m+1=2n-m\)です.

したがって,求める和は\[\frac{5^{2m-1}(1-25^{2n-m})}{1-25}=\frac{5^{2m-1}(25^{2n-m}-1)}{24}\]となります.

以上,解答の過程に着目して欲しいのですが「\(\sum ar^{n-1}\)の公式」など必要ありませんし,覚えていても上ような形に添わないため使い物にすらなりません.

一般に,教科書が「公式」だと言っているから必ず覚えてなくてはならない,という訳では決してありません.教科書で「覚えろ」と言わんばかりの記述であっても,それが本当に覚える価値のある式なのか,それとも導出過程さえ押さえればいい式なのか,自分の頭で考え,疑う癖をつけることは数学を学ぶ上では非常に大事です.

シグマ計算の工夫

問題
\(\displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)\)を計算せよ.ただし\(a,b\)は定数.

これを計算せよと言われたら次のように計算すると思います.
\[
\begin{align*}
\displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)&=a\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}b&\Sigma\text{の分配法則}\\
&=a\frac{1}{2}n(n+1)+bn&\Sigma\text{の公式}\\
&=\frac{a}{2}n^2+\frac{a}{2}n+bn&\text{計算して}\\
&=\frac{a}{2}n^2+(\frac{a}{2}+b)n&\text{整理}
\end{align*}
\]

しかし,これは次のように計算するのが実戦的です.

\[
\begin{align*}
\displaystyle \sum^n_{k=1}(ak+b)&=\frac{n\left\{(a+b)+(an+b)\right\}}{2}\\
&=\frac{n(an+a+2b)}{2}
\end{align*}
\]

このように一行で済みます.これはどう考えたのかというと・・・

まず,\(\Sigma\)の後ろが\(k\)についての1次式\(ak+b\)であることから,聞かれているものが「等差数列の和」であることが見て取れます(ここを見抜くのがポイント).ですからあとは等差数列の和の公式を使えばいいだけです.等差数列の和の公式で必要な要素は項数,初項,末項でしたが,これらは暗算ですぐに調べられます:

項数は?今,\(\sum^n_{k=1}\),つまり\(1\)番から\(n\)番までの和,ですから項数は\(n\)個です.

初項は?\(ak+b\)の\(k\)に\(k=1\)と代入すればいいでしょう.\(a\cdot 1+b=a+b\).

末項は?\(ak+b\)の\(k\)に\(k=n\)と代入すればいいでしょう.\(a\cdot n+b=an+b\).

このように,項数\(n\),初項\(a+b\),末項\(an+b\)とすぐに分かりますから,あとはこれらを等差数列の和の公式に当てはめ,\[\frac{n\left\{(a+b)+(an+b)\right\}}{2}=\frac{n(an+a+2b)}{2}\]と即答できるわけです.

練習問題
\(\displaystyle \sum^{3n-1}_{k=7}(3k+2)\)を計算せよ.

これも,

\[
\begin{align*}
\displaystyle \sum^{3n-1}_{k=7}(3k+2)=&3\sum^{3n-1}_{k=7}k+\sum^{3n-1}_{k=7}2\\
=&3\left(\sum^{3n-1}_{k=1}k-\sum^{6}_{k=1}k\right)+\left(\sum^{3n-1}_{k=1}2-\sum^{6}_{k=1}2\right)\\
=&\cdots
\end{align*}
\]

として計算するのは悪手です.

上のように,\(\Sigma\)の後ろが\(k\)についての1次式であることから,等差数列の和であることを見抜き,項数,初項,末項を調べます.

項数は?今,\(\sum^{3n-1}_{k=7}\),つまり\(7\)番から\(3n-1\)番までの和,ですから項数は\((3n-1)-7+1=3n-7\)個です(\(+1\)に注意!).

初項は?\(3k+2\)の\(k\)に\(k=7\)と代入すればいいでしょう.\(3\cdot 7+2=23\).

末項は?\(3k+2\)の\(k\)に\(k=3n-1\)と代入すればいいでしょう.\(3\cdot (3n-1)+2=9n-1\).

よって,等差数列の和の公式より,
\[
\begin{align*}
\displaystyle \sum^{3n-1}_{k=7}(3k+2)&=\frac{(3n-7)\left\{23+(9n-1)\right\}}{2}\\
&=\frac{(3n-7)(9n+22)}{2}
\end{align*}
\]

と即答できます.