\[
\begin{align*}
\begin{cases}
x=a\\
x=b
\end{cases}
\end{align*}
\]
ここから短絡的に\(x\)を消去して\(a=b\)としても同値とはなりません．しかしもし，
\[
\begin{align*}
\begin{cases}
x=a\\
x=b
\end{cases}
\end{align*}\text{を満たす\(x\)が存在する}
\]
なら，\(a=b\)と同値であると言えます（\(x\)は文字通り消える）．この二者の違いは，「存在する」という一言があるかないかです．この「存在する」について議論してみたいと思います．簡単のため，上を論理式で記述してみます．「\(x\)が存在する」は「\(\exists x\)」と書けますから（\(\exists\)はExistの頭文字をひっくり返したものです），
\[
\begin{align*}
\exists x
\begin{cases}
x=a\\
x=b
\end{cases}
\Longleftrightarrow~a=b
\end{align*}
\]
となります．一般に，条件を\(p(x)\)で表すことにすると，
\begin{align*}
\exists x
\begin{cases}
p(x)\\
x=a
\end{cases}
\Longleftrightarrow~p(a)
\end{align*}
\]
が成り立ちます．
【証明】
（\(\Rightarrow\)）仮定より，条件\(p(x)\)と\(x=a\)をみたす\(x\)が存在する．今，これを\(\alpha\)とおく．このとき，\[p(\alpha)\land \alpha=a\]すなわち\[p(a)\]が成り立つ．
（\(\Leftarrow\)）仮定より，\(p(x)\)をみたす\(x\)が存在する．その\(x\)は\(a\)である．そしてこの\(a\)は方程式\(x=a\)を明らかにみたしている．ゆえに，\(p(x)\land x=a\)をみたす\(x\)が（\(a\)として）存在する．
（証明終）
これは様々な同値変形で用いるとても重要な考え方になります．
とくに連立方程式においては，「消去する」などといいつつも文字は消えるわけではないのですが，しかし「存在する」のであれば，消えてなくなります．この違いに注意しておきたいです．