点と平面の距離

平面\(ax+by+cz+d=0\)と点\(P(x_0,y_0,z_0)\)との距離の公式を作ってみます。

平面\(ax+by+cz+d=0\)と点\(P(x_0,y_0,z_0)\)との距離は\[\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]で与えられる.

証明

\((a_0,b_0,c_0)\)を平面上の点とする.点\(P\)から平面へおろした足を\(H\)とおけば,線分\(PH\)の長さは正射影ベクトル\((\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{e})\overrightarrow{e}\)の大きさと等しい.したがって
\begin{align*}
PH=&\left|(\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{e})\overrightarrow{e}\right|\\
=&\left|\left(\begin{array}{c} x_0-a_0 \\ y_0-b_0 \\ z_0-c_0 \end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)\right|\\
=&\frac{|a(x_0-a_0)+b(y_0-b_0)+c(z_0-c_0)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
=&\frac{|ax_0+by_0+cz_0-aa_0-bb_0-cc_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
\end{align*}\((a_0,b_0,c_0)\)は平面上の点なので,\(aa_0+bb_0+cc_0+d=0\)すなわち\(d=-aa_0-bb_0-cc_0\)が成り立つことから\[\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]を得る.

証明終

おもしろポイント:
・お馴染み点と直線の距離の公式\(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)に似てること
・なんかすごいかんたんに導けること
正射影ベクトルきもちいい