できます（かつ（\(\land\)）に関して）．なぜなら，
\[\forall x[p(x)\land q(x)]~\Longleftrightarrow \forall x p(x)\land \forall x q(x)\]であるから，この命題の待遇を考えると，
\[\lnot(\forall x[p(x)\land q(x)])~\Longleftrightarrow \lnot(\forall x p(x)\land \forall x q(x))\]
すなわち
\[\exists x[\lnot p(x)\lor \lnot q(x)]~\Longleftrightarrow \exists x \lnot p(x)\lor \exists x \lnot q(x)\]
となります．\(\lnot\)は否定を表す記号です．ですから，
\[\exists x[\overline{p(x)}\lor \overline{q(x)}]~\Longleftrightarrow \exists x \overline{ p(x)}\lor \exists x \overline{q(x)}\]
とも書けますね．見やすさのために\(\overline{p(x)}\)を\(p(x)\)に，\(\overline{q(x)}\)を\(q(x)\)に改めて書き換えれば，
\[\exists x[p(x) \lor q(x)]~\Longleftrightarrow \exists x p(x)\lor \exists x q(x)\]
となります．
注意：ただし，存在記号はかつ（\(\land\)）に関しては分配できません！すなわち，\[\exists x[p(x) \land q(x)] \Longrightarrow \exists x p(x) \land \exists xq(x)\]であって，この逆は成り立ちません．これは具体例を考えれば分かりやすい．仮に全体集合をあるクラスだとして，\(p(x)\)を「\(x\)は勉強が得意」\(q(x)\)を「\(x\)はスポーツが得意」だとします．すると，\(\exists x[p(x) \land q(x)]\)は「勉強もスポーツも両方得意な生徒がいる」となり，\(\exists x p(x) \land \exists xq(x)\)は「勉強が得意な生徒がいて，かつ，スポーツが得意な生徒もいる」となります．\(\Longrightarrow\)が成り立つのは当たり前でしょう．\(\Longleftarrow\)について考えます．「（そのクラスに）勉強が得意な生徒がいて，スポーツが得意な生徒もいるのなら，勉強もスポーツも両方得意な生徒がいる」となりますが，これは正しいでしょうか．少し考えればわかるように明らかに正しくないですね．反例．仮定を満たすクラスとして，「勉強は超得意だけどスポーツはダメダメな秀才君がいて，スポーツは超得意だけど勉強はからっきしの脳筋君がいる．そしてクラスの他の生徒たちは勉強もスポーツもとくに得意とは言えない，いたってフツーの生徒，そんなクラスが例えば考えられます．このクラスには明らかに「勉強もスポーツも両方得意な生徒」はいることにはなりませんね．