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ここに始点が揃った２つのベクトル\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)があります．\(\vec{a}\)による\(\vec{b}\)への落とした影となるベクトルを，「\(\vec{a}\)の正射影ベクトル」と呼びます．この\(\vec{a}\)の正射影ベクトルを求めてみましょう．

まず，\(\vec{b}\)と同じ向きの単位ベクトル\(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)（下図青のベクトル）が１目盛りになるような軸（下図赤の軸）を設定します．このとき，正射影ベクトルの終点が指し示す場所の座標はいくらになるでしょうか．三角比の公式より，\(|\vec{a}|\cos\theta\)ですね．これは\(\theta\)が鈍角のときも成り立ちます．\[\text{正射影ベクトルの終点が指し示す座標は，}|\vec{a}|\cos\theta\text{で表される}\]

※ ここで「えっ？」と思った人は拡張された三角比の定義とそこから作られる定理（公式）が怪しい．定義を大切にしない人はこういうところで躓きます！※

したがって，単位ベクトル\(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)に，この「座標」を掛けてやれば，正射影ベクトルが求まります．\[\text{正射影ベクトル}=\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}|\vec{a}|\cos\theta\]これで正射影ベクトルを表す式が手に入りました．

・・・と，上の式を公式としてもいいのですが，見た目がちょっと汚いので，もう少し手を加えてみましょう．上の単位ベクトル\(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)を\(\vec{e}\)と表すことにして，さらに\(|\vec{a}|\cos\theta\)が
\[
\begin{align*}
|\vec{a}|\cos\theta&=|\vec{a}||\vec{e}|\cos\theta\\
&=\vec{a}\cdot\vec{e}
\end{align*}
\]
と表せることに注意すると，結局正射影ベクトルは，\[(\vec{a}\cdot\vec{e})\vec{e}\]とシンプルに記述できることになります．この結果は記憶に値します．というか常識にしておきたい知識です．なぜなら，「正射影ベクトル」が欲しくなるシチュエーションは入試その他で頻出だからです．

後日，この正射影ベクトルが使われる例を紹介してみたいと思います．

不定方程式の解法について考察してみます．

不定方程式\[49x－23y=1\]の解となる最小の自然数\(x\)を答えよ．

（2019 センター試験数学Ⅰ・A 改題）

定石的には，ユークリッドの互除法により特殊解を見つけて，それを代入したものを辺々引いて・・・という手順を踏みますが，合同式を利用すれば

【解答】

以下，\(\mathrm{mod} 23\)とする．

\[
\begin{align*}
&49x-23y\equiv1\\
&49x\equiv1\\
&3x\equiv1\\
&24x\equiv8\\
&x\equiv8\\
\end{align*}
\]

したがって，一般解は\(x=23k+8\)（\(k\)は任意の整数）であるから答えは\(8\)

【解答終】

・・・と，このようにスピーディーに解答できるので，ぜひマスターしておきたいところです．変形のイロハについてもいずれ記事にしたいと思ってます．塾でも希望者には合同式講座を開催しますので，ぜひ参加してください＾＾

数学Ⅲ極限の有名問題の論理的側面について考えてみます．

次の等式が成り立つように，定数\(a,~b\)の値を求めよ．\[\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2\]

（数研出版 数学Ⅲ「関数の極限」より抜粋）

\(x\rightarrow1\)とすると，左辺は\(\frac{a+b}{0}\)となり，もし\(a+b\neq 0\)とすると左辺は発散してしまいますが，この式は「左辺の極限は2に限りなく近づく（収束する）」ということを主張した式ですから矛盾してします．したがって，\(a+b=0\)であることが必要です（必要条件）．そして\(b=-a\)を元の式に代入して極限計算すると・・・というおなじみの問題です．

ここでふとギモン．必要条件なのに教科書の解答では逆の考察をしていません．必要条件は逆の考察をしなければならないんじゃなかったの・・・？？

これはどういうことか，論理式を用いて考察してみます．

【解答】
\begin{align*}
&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2\\
\Longleftrightarrow&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}+b}{x-1}=2 \land a+b=0 \quad\cdots(\ast)\\
\Longleftrightarrow&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a\sqrt{x}-a}{x-1}=2 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=2 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&\lim_{x\rightarrow 1}\frac{a}{\sqrt{x}+1}=2 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&\frac{a}{2}=2 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&a=4 \land b=-a\\
\Longleftrightarrow&a=4 \land b=-4\\
\end{align*}
【解答終】

模式的にかくと，\(P_1\Longrightarrow P_2\)のとき，\[P_1\Longleftrightarrow P_1\land P_2\]という同値関係が成り立つから（上の\((\ast)\)）逆の考察をしなくてもいいのです．

\(a=4,~b=-4\)と答えるだけなら，上記の話は全く必要のない知識でしょう．これで正答ですし．しかし，他の記事でも書いたように，分野を超えて，それも教科書レベルの問題にすら論理の話題は潜んでいるということに注目すべきです．もっとも，数学は論理によって記述されるわけですから，当然と言えば当然ですが・・・．このような背景を理解しておくことは受験だけでなくその後の数学学習に大いに役立つと思います（例えば，数学系大学1年生を苦しめるかの悪名高き\(\epsilon\delta\)論法も，結局，高校のカリキュラムに述語論理が含まれていないがためだと個人的に思います）．

ちなみに，このような\(\land,~\lor,~\Rightarrow,~\lnot\)（論理積，論理和，含意，否定）といった論理記号は，教科書では主に「ベン図」により理解したと思います．しかし正確には「真理値表」という表によって定義されます．上で言った「\(P_1\Longrightarrow P_2\)のとき，\(P_1\Longleftrightarrow P_1\land P_2\)が成り立つ」という事実も，真理値表により確かめられます．

この定番問題には２つのアプローチがあります。係数比較法と数値代入法です。教科書等の解答を見ると，「数値代入法」では「逆に～」という記述がある一方，「係数比較法」ではその種の記述は見当たりません。なぜか？これを論理式を用いて考察してみます。

（係数比較法）
\[
\begin{align*}
&a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1\text{が恒等式}\\
\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}~&\forall x\in \mathbb{R}[a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1]\\
\Longleftrightarrow~& \forall x\in \mathbb{R}[(a+b+c)x^2+(b-c-3)x-a+1=0]\\
\overset{(\ast)}{\Longleftrightarrow}~& a+b+c=0 \land b-c-3=0 \land -a+1=0\\
\Longleftrightarrow~& a=1 \land b=1 \land c=-2\\
\end{align*}
\]

どの行を眺めても，恒等式の定義（どんな\(x\)についても式が成り立つ）と単純な計算による変形なので同値性は崩しておらず，問題ありません。
強いて言えば\((\ast)\)の\(\Rightarrow\)でしょうか。気になるのは。念のため証明してみます：

\((\ast)\)の\(\Rightarrow\)の証明

背理法で考える．
\begin{align*}
&\neg (\forall x\in \mathbb{R}[(a+b+c)x^2+(b-c-3)x-a+1=0]\\
&\Rightarrow a+b+c=0 \land b-c-3=0 \land -a+1=0)\\
\Longleftrightarrow~&\forall x\in \mathbb{R}[(a+b+c)x^2+(b-c-3)x-a+1=0]\\
&\land (a+b+c\neq 0 \lor b-c-3\neq 0 \lor -a+1\neq 0)\\
\end{align*}
すると\((a+b+c)x^2+(b-c-3)x-a+1=0\)の左辺は\(2\)次関数または\(1\)次関数または定数関数（ただし\(0\)でない）となるが，いずれにしてもすべての\(x\)で\(0\)と等しくなることなく，矛盾する．

証明終

次に数値代入法で考えてみます。

（数値代入法）

与式を\(f(x)=g(x)\)とおきます。

\[
\begin{align*}
&a(x+1)(x-1)+bx(x+1)+cx(x-1)=3x-1\text{が恒等式}\\
\Longleftrightarrow~&\forall x\in \mathbb{R}[f(x)=g(x)]\\
\overset{(\ast)}{\Longrightarrow}~& f(-1)=g(-1) \land f(0)=g(0) \land f(1)=g(1)\\
\Longleftrightarrow~& a+b+c=0 \land b-c-3=0 \land -a+1=0\\
\Longleftrightarrow~& a=1 \land b=1 \land c=-2\\
\end{align*}
\]

\((\ast)\)で同値性を崩しているので，逆（十分性）を確認する．すなわち，\[a=1 \land b=1 \land c=-2~\Longrightarrow \forall x\in \mathbb{R}[f(x)=g(x)]\]を確認しなくてはなりません：

\(a=1 \land b=1 \land c=-2\)のとき，\(f(x)=g(x)\)は，

\[
\begin{align*}
&f(x)=g(x)\\
\Longleftrightarrow~&(x+1)(x-1)+x(x+1)-2x(x-1)=3x-1\\
\Longleftrightarrow~& x^2-1+x^2+x-2x^2+2x=3x-1\\
\Longleftrightarrow~& 3x-1=3x-1\\
\end{align*}
\]

と変形でききますが，これは明らかにすべての\(x\)で成り立ちます。したがって恒等式です。十分性が確認できたので，\(a=1, b=1 , c=-2\)は必要十分条件であることが確認できました。

「『どんな\(x\)でも成り立つ』のなら都合のいい\(x\)を代入してやれ～」の精神で\(-1,~0,~1\)を代入するわけですが，そうして得られた命題はあくまで「\(-1,~0,~1\)という\(x\)で\(f(x)=g(x)\)成り立つ」ことを主張しており，「すべての\(x\)で\(f(x)=g(x)\)が成り立つ（\(f(x)=g(x)\)が恒等式である）」ことを主張してはいません。つまり必要条件にしか過ぎない。だから，逆の調査が必要なのです。以前紹介した\[P_1\Longrightarrow P_2\Longrightarrow P_3\Longrightarrow\cdots \Longrightarrow P_n\]と変形してから，\[P_1\Longleftarrow P_n\]（十分性）を確認する，という考え方ですね。

これは教科書の問題ですが，こういった教科書例題レベルの問題にはこういった論理が潜んでいます。学び始めは，テスト等で点数を取るために「とりあえず展開して係数を比較すればいい！」と「解法」を記憶することで一杯一杯だと思いますが，このような背景にも目を向けておくこともまた大切だと思います。

宝くじを買います．人はみなそれぞれ当たる額を予想するでしょう．
「１億円当たってほしい！」「いや欲は言わない，１０万円でいいから当たって欲しい」「３億円あたったら何しよう（妄想）」などなど．

このような願望に基づく「人間的な予測値」ではなく，極力客観的な，すなわち「数学的な予測値」を考えてみましょう．それが「期待値」という値です．
\[\text{期待値とは，いくら当たるのかを数学的に予測した値}\]計算式はかんたん．\[\sum \left(\text{（当選金額）}\times\text{（当選確率）}\right)\]

さあ，宝くじの期待値を計算してみましょう．

まず，宝くじの仕組みの確認から．
宝くじ券には，「ユニット」「組」「番号」の3つの情報で構成されています．

ここでは，「ドリームジャンボ宝くじ（第787回全国自治宝くじ）」を例にとって考えてみます．

この回の宝くじでは，

\begin{align*}
\text{組に}&~~1～100\\
\text{番号に}&~~100000～199999
\end{align*}

の番号が振られているそうです．
組が100通り，番号が100000通りですから，\[100\times100,000=10,000,000\]つまり1千万枚の宝くじ券があることになります．この，組と番号の1千万通りの宝くじ券を「1ユニット」と呼びます．この第787回宝くじでは，\[13~\text{ユニット}\]発行するそうですから，結局，\[10,000,000\times13=130,000,000\]すなわち宝くじの発行総枚数は1億3千万枚，ということになります．ひえ～．

次に，各賞の枚数を計算してみましょう．

※ 当選の組と番号は第770回のドリームジャンボ宝くじのを流用しています
※ \(\ast\)\(\ast\)\(\ast\)は1~100までの任意の数です
※ ■は0または1が入ります
※ ●は0~9までの数が入ります

期待値を計算すると，

\[
\begin{align*}
&3000000000\times\frac{13}{130000000}+100000000\times\frac{26}{130000000}+100000\times\frac{1287}{130000000}\\+&10000000\times\frac{39}{130000000}+1000000\times\frac{780}{130000000}+100000\times\frac{26000}{130000000}\\
+&10000\times\frac{130000}{130000000}+3000\times\frac{1300000}{130000000}+300\times\frac{13000000}{130000000}\\
=&150
\end{align*}
\]

ゼロの個数あってるかな（実際はエクセルで計算しました）．

・・・150円．つまり数学的には150円当たる，と予測できるわけです．しかし考えてみてください．ドリームジャンボ宝くじは一枚いくらしますか．

・・・300円！！！

うーん．買わない方がいいですね＾＾；

おわり