ベクトルの外積

外積を定義します.

外積

    1. \(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)に対して垂直で,
    2. その向きが,\(\overrightarrow{a}\)から\(\overrightarrow{b}\)へねじを回したときにねじが進む向きと一致し,
    3. その大きさが,\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が作る平行四辺形の面積と一致する

ようなベクトルを「外積(outer product)」と呼び,\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\]と表す.

ことにします.上図の赤いベクトルですね.定義しただけでは役に立たないので,実際にこの外積を求めてみましょう.\(\overrightarrow{a}=(a_1,~a_2,~a_3),~\overrightarrow{b}=(b_1,~b_2,~b_3)\)とおくことにします.

まず,\(\overrightarrow{a}\)は基本ベクトル\(\overrightarrow{e_1}=(1,~0,~0),~\overrightarrow{e_2}=(0,~1,~0),~\overrightarrow{e_3}=(0,~0,~1)\)を用いて,
\[
\begin{align*}
\overrightarrow{a}=
&\left(
\begin{array}{c}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
a_1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
0\\
a_2\\
0
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
a_3
\end{array}
\right)\\
&=a_1\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
a_2\left(
\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}
\right)
+
a_3\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right)\\
&=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}
\end{align*}
\]

と\(e_1,~e_2,~e_3\)の1次結合で表すことができます.同様にして

\[\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3}\]

したがって外積\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)は

\[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})\times(b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3})\]

と書けることになります.これを「計算」してみればよい.しかしここでひとつ問題があります.「\(\times\)」に関する計算法則を,まだ私たちはなにも知りません(普段使っている「掛ける」とは見た目が同じだけで別物です).したがって,まずこの「\(\times\)」がどのような計算法則を持つのか,調べなくてはなりません.

結論から先に述べますと,

\[
\begin{align*}
&\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}\tag{A}\\
&k(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=(k\overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times (k\overrightarrow{b})\tag{B}\\
&\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\tag{C}
\end{align*}
\]

が成り立ちます(\(\mathrm{(A)}\)は定義より明らか.\(\mathrm{(B)}\),\(\mathrm{(C)}\)).注意したいのは,1つ目,「交換するとマイナスがつく」ということです.外積という新しい定義を導入したわけですから,当然,これまでの常識(交換法則)が通用するとは限らないわけです.

では,これらの計算法則に従って,計算してみましょう(実際に紙に書いて手を動かしてみることをおすすめします).

\[
\begin{align*}
&~\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\\
=&~(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})\times(b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3})\\
=&~a_1\overrightarrow{e_1}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_1\overrightarrow{e_1}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_1\overrightarrow{e_1}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
&+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
&+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
=&~a_1b_1(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_1})+a_1b_2(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2})+a_1b_3(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_3})\\
&+a_2b_1(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_1})+a_2b_2(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2})+a_2b_3(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3})\\
&+a_3b_1(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1})+a_3b_2(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_2})+a_3b_3(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_3})
\end{align*}
\]

ここで,

\[
\begin{align*}
&\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{0} \\
&\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3},\quad\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}=-\overrightarrow{e_2}\\
&\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_1}=-\overrightarrow{e_3},\quad\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}\\
&\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2},\quad\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_2}=-\overrightarrow{e_1}
\end{align*}
\]

ですから(なぜ?),結局外積\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)は
\[
\begin{align*}
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}
=&~a_1b_1\cdot \overrightarrow{0}+a_1b_2\overrightarrow{e_3} -a_1b_3\overrightarrow{e_2}\\
&-a_2b_1\overrightarrow{e_3}+a_2b_2\cdot \overrightarrow{0}+a_2b_3\overrightarrow{e_1}\\
&+a_3b_1\overrightarrow{e_2}-a_3b_2\overrightarrow{e_1}+a_3b_3\cdot \overrightarrow{0}\\
=&~(a_2b_3-a_3b_2)\overrightarrow{e_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\overrightarrow{e_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{e_3}\\
=&~(a_2b_3-a_3b_2)\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
(a_3b_1-a_1b_3)\left(
\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}
\right)
+
(a_1b_2-a_2b_1)\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right)\\
=&~\left(
\begin{array}{c}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{array}
\right)
\end{align*}
\]

を得ます.この結果は覚えておくとよいでしょう.以下のように覚えるのがおすすめです.

\[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(
\begin{array}{c}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{array}
\right)\]

内積(inner product)と言葉自体は似ているのですが,内積はスカラー量であるのに対して,外積はベクトル量であることに注意してください.

注意
高校数学においても垂直なベクトルを求めるシーンは多いのですが,高校範囲外なので,テストや模試等では検算にとどめておくのが無難かも知れません.