「存在することを示せ」と言われたら(その2)(★P105問題2 )

順序集合\(A\)の元の列\((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)で,\(a_1<a_2<\cdots<a_n<\cdots\)となるものを\(A\)における昇鎖という.これと相対的に\(A\)における降鎖が定義される.\(A\)が全順序集合であるとき,\(A\)が整列集合であるための必要十分条件は,\(A\)において降鎖が存在しないことであることを示せ.

存在を追え!

証明

(\(\Rightarrow\))
\(A\)が整列集合で,\(A\)において降鎖が存在すると仮定する.このとき,\(A\)の元の列\((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\)で,\[a_1>a_2>\cdots>a_n>\cdots\]となるものが存在するが,\(\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\)には最小元が存在せず,矛盾である.

(\(\Leftarrow\))
\(A\)が整列集合でないならば\(A\)において降鎖が存在することを示す(対偶).
仮定により,\(A\)は整列集合でないから

\begin{align*}
\neg (A\text{が整列集合})\Longleftrightarrow~&\neg (\text{空でない任意の部分集合が最小元をもつ})\\
\Longleftrightarrow~&\neg (M\neq \phi,M \subset A \Rightarrow M\text{は最小元をもつ})\\
\Longleftrightarrow~&\exists M[M\neq \phi,M \subset A, M\text{は最小元をもたない}\cdots (\ast)]
\end{align*}

\begin{align*}
\neg (M\text{が最小元をもつ})~\Longleftrightarrow~&\neg(\exists a\in M \forall x \in M [a\leq x])\\
\Longleftrightarrow~&\forall a\in M \exists x \in M [x < a]\cdots(\ast\ast)\\
\end{align*}

したがって\((\ast)\)を満たす\(M\)が存在する.この\(M\)の任意の元\(a\)に対して,\((\ast\ast)\)により,\( x <a\)となる\(x\in M\)が存在する.そこで,\(M\)の元を任意に\(1\)つとり(これを\(a_1\)とおく),それに応じて定まる(\(x <a_1\)を満たす)\(x\in M\)を\(a_2\)とおくと\[a_2 < a_1\]となる.さらにこの\(a_2\in M\)に対して,再び\((\ast\ast)\)により,上と同様に\(x < a_2\)となる\(x \in M\)が存在する.これを\(a_3\)とおけば,\[a_3 < a_2\]が成り立つ.これを繰り返して\(A\)の元の列\((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\)を定めれば,これが示すべきものとなる.

証明終

\(\overline{a+b=c\text{日本語入力するとなんかはみ出すので,}}\)
なので上では\(\neg\)を使いました。