定義から明らかに，\(M^{\circ}\)は次の３条件によって特徴付けられる．
\begin{align*}
&M^{\circ}\subset M\tag{2.1}\\
&M^{\circ}\in\mathfrak{O}\tag{2.2}\\
&O \subset M,O\in\mathfrak{O} \Rightarrow O \subset M^{\circ}\tag{2.3}
\end{align*}
証明
\((M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\)を\(M\)に含まれる開集合から成る任意の集合族とすれば，示したいことは
\[M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\Longleftrightarrow \begin{cases}M^{\circ}\subset M&(2.1)\\M^{\circ}\in\mathfrak{O}&(2.2)\\O\subset M,O\in\mathfrak{O} \Rightarrow O \subset M^{\circ}&(2.3)\end{cases}\]である．必要性はマジで明らかだから，十分性を示す．
\[M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\Longleftrightarrow M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \land \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\]\(M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)であること：
\((2.1),~(2.2)\)により，\(M^{\circ}\)は\(M\)に含まれる開集合である．したがって\(M^{\circ}=M_{\lambda}\)となる\(\lambda\)が存在する．ゆえに\(M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)
\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\)であること：
\(a\in\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)とすると，\(a\in M_{\lambda}\)となる\(\lambda \in \Lambda\)が存在する．\(M_{\lambda} \subset M,~M_{\lambda}\in \mathfrak{O}\)であるから，\((2.3)\)によって\(M_{\lambda} \subset M^{\circ}\)．したがって\(a \in M^{\circ}\)．ゆえに\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\)
以上により\(M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)
証明終