★P154

定義から明らかに,\(M^{\circ}\)は次の3条件によって特徴付けられる.
\begin{align*}
&M^{\circ}\subset M\tag{2.1}\\
&M^{\circ}\in\mathfrak{O}\tag{2.2}\\
&O \subset M,O\in\mathfrak{O} \Rightarrow O \subset M^{\circ}\tag{2.3}
\end{align*}

 
証明

\((M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\)を\(M\)に含まれる開集合から成る任意の集合族とすれば,示したいことは
\[M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\Longleftrightarrow \begin{cases}M^{\circ}\subset M&(2.1)\\M^{\circ}\in\mathfrak{O}&(2.2)\\O\subset M,O\in\mathfrak{O} \Rightarrow O \subset M^{\circ}&(2.3)\end{cases}\]である.必要性はマジで明らかだから,十分性を示す.
\[M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\Longleftrightarrow M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \land \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\]\(M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)であること:
\((2.1),~(2.2)\)により,\(M^{\circ}\)は\(M\)に含まれる開集合である.したがって\(M^{\circ}=M_{\lambda}\)となる\(\lambda\)が存在する.ゆえに\(M^{\circ} \subset \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)

\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\)であること:
\(a\in\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)とすると,\(a\in M_{\lambda}\)となる\(\lambda \in \Lambda\)が存在する.\(M_{\lambda} \subset M,~M_{\lambda}\in \mathfrak{O}\)であるから,\((2.3)\)によって\(M_{\lambda} \subset M^{\circ}\).したがって\(a \in M^{\circ}\).ゆえに\(\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} \subset M^{\circ}\)

以上により\(M^{\circ}=\displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda}\)
証明終

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