また明らかに，
\begin{align*}
&M \in \mathfrak{O} \Longleftrightarrow M^{\circ}=M \tag{2.4}\\
&M \subset N \Longrightarrow M^{\circ} \subset N^{\circ}\tag{2.5}
\end{align*}
証明
\((2.4)\)
必要性．\(M\)を開集合とすると，\(M\)に含まれる開集合として\(M\)自身がある．したがって\(M\)に含まれる開集合全体の和集合\(M^{\circ}\)をとるとそれは\(M\)，すなわち\(M^{\circ}=M\)となる．
十分性．\(M\)に含まれる開集合の和集合が\(M\)であるとする．開集合の定義により，開集合の和集合は開集合なので，\(M\)は開集合，すなわち\(M \in \mathfrak{O}\)．
\((2.5)\)
\((M_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\)を\(M\)に含まれる開集合全体から成る任意の集合族とする．\(M\subset N,~a \in M^{\circ}\)と仮定すると，\(a \in M_{\lambda}\)となる\(\lambda\)が存在する．\(M_{\lambda} \subset \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} = M^{\circ} \subset M \subset N\)であるから，\(M_{\lambda}\)は\(N\)に含まれる開集合でもある．したがって\(M_{\lambda} \subset N^{\circ}\)．ゆえに\(a \in N^{\circ} \)．よって\(M^{\circ}\subset N^{\circ}\)．
証明終