★P154_2

また明らかに
\begin{align*}
&M \in \mathfrak{O} \Longleftrightarrow M^{\circ}=M \tag{2.4}\\
&M \subset N \Longrightarrow M^{\circ} \subset N^{\circ}\tag{2.5}
\end{align*}

 
証明

\((2.4)\)
必要性.\(M\)を開集合とすると,\(M\)に含まれる開集合として\(M\)自身がある.したがって\(M\)に含まれる開集合全体の和集合\(M^{\circ}\)をとるとそれは\(M\),すなわち\(M^{\circ}=M\)となる.
十分性.\(M\)に含まれる開集合の和集合が\(M\)であるとする.開集合の定義により,開集合の和集合は開集合なので,\(M\)は開集合,すなわち\(M \in \mathfrak{O}\).

\((2.5)\)
\((M_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\)を\(M\)に含まれる開集合全体から成る任意の集合族とする.\(M\subset N,~a \in M^{\circ}\)と仮定すると,\(a \in M_{\lambda}\)となる\(\lambda\)が存在する.\(M_{\lambda} \subset \displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda}M_{\lambda} = M^{\circ} \subset M \subset N\)であるから,\(M_{\lambda}\)は\(N\)に含まれる開集合でもある.したがって\(M_{\lambda} \subset N^{\circ}\).ゆえに\(a \in N^{\circ} \).よって\(M^{\circ}\subset N^{\circ}\).

証明終

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