カテゴリー: 数学A

前回記事（上の問題）の1. \[2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-5=0\]を因数分解せずに解くとどうなるかを見てみます。前と同様，
\begin{align*}
&2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&x=\frac{-3(y-1)\pm \sqrt{25y^2-50y+49}}{4}
\end{align*}と変形し，ここから必要条件として\[25y^2-50y+49\geq 0\]が得られますが，しかしこれは何の旨味もないものです。なぜならこの式を満たす\(y\in \mathbb{Z}\)は無数にあり，\(y\)が絞れないからです。そこで必要条件として別のものをとり出してみます。

別解

\begin{align*}
&2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&x=\frac{-3(y-1)\pm \sqrt{25y^2-50y+49}}{4}
\end{align*}\(x\)は整数であるから\[25y^2-50y+49=k^2\quad(k=0,1,2,\cdots)\]と表せることが必要．ここで
\begin{align*}
&25y^2-50y+49=k^2\\
\Longleftrightarrow~&25(y^2-2y+1-1)-k^2+49=0\\
\Longleftrightarrow~&25(y-1)^2-k^2=-24\\
\Longleftrightarrow~&(5(y-1)-k)(5(y-1)+k)=-24\\
\Longleftrightarrow~&(5y-k-5)(5y+k-5)=-24(=-2^3\times 3)
\end{align*}
また，\((5y-k-5)+(5y+k-5)=2(5y-3)(=\text{偶数})\)であることから\(5y-k-5\)と\(5y+k-5\)の偶奇は一致すること，そして\(5y-k-5<5y+k-5\)であることから，\((5y-k-5,5y+k-5)\)の組み合わせは\[(-2^1,2^2\cdot 3),(-2^2,2^1\cdot 3),(-2^1\cdot 3,2^2),(-2^2\cdot 3,2^1)\]の\(4\)通りであることが分かる．これより\(y=2,\frac{6}{5},\frac{4}{5},0\)が得られ，\(y\)は整数だから\(y=0,2\)で\(x=-1,1\)．したがって求める答えは\((x,y)=(-1,0),(1,2)\)である．

別解終

途中，必要条件なのに逆の考察をしていないのはやはり同値だからです。論理式で記述すると（つづく）

1.
整数問題の大まかなタイプとしては，

因数分解，範囲を絞ってしらみつぶし，合同式の利用（余りで分類）

というのは有名ですが，このうち一つ目の因数分解を狙うというのは自然な発想かと思います。

（因数分解の方針その１）
\begin{align*}
&2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&2x^2+3(y-1)x-2y^2+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&2x^2+3(y-1)x-2(y^2-2y+1-1)-5=0\\
\Longleftrightarrow~&2x^2+3(y-1)x-2(y-1)^2-3=0\\
\Longleftrightarrow~&(2x-y+1)(x+2y-2)=3
\end{align*}

3行目の変形がちょっと苦しい…？＾＾；

（因数分解の方針その２）
\begin{align*}
&2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&2x^2+3(y-1)x-2y^2+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&2\left(x^2+\frac{3(y-1)}{2}x+\frac{9(y-1)^2}{16}-\frac{9(y-1)^2}{16}\right)-2y^2+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&2\left(x+\frac{3(y-1)}{4}\right)^2-\frac{9(y-1)^2}{8}-2y^2+4y-5=0\\
\Longleftrightarrow~&(4x+3(y-1))^2-9(y-1)^2-16y^2+32y-40=0\\
\Longleftrightarrow~&(4x+3(y-1))^2-25y^2+50y-49=0\\
\Longleftrightarrow~&(4x+3(y-1))^2-25(y^2-2y+1-1)-49=0\\
\Longleftrightarrow~&(4x+3(y-1))^2-25(y-1)^2=24\\
\Longleftrightarrow~&(4x-2y+2)(4x+8y-8)=24\\
\Longleftrightarrow~&(2x-y+1)(x+2y-2)=3
\end{align*}平方完成で強引に。

（因数分解の方針その３）
\(2x^2+3xy-2y^2=(2x-y)(x+2y)\)に着目し，\((2x-y+a)(x+2y+b)\)という式の展開式を考えます。すると\[(2x-y+a)(x+2y+b)=2x^2+3xy-2y^2+Ax+By+C\]という与式の形が現れますから，\(A=-3,B=4\)を解いて，\(a,b\)を求めます（これを\(a_0,b_0\)とします。これにより\(C=C_0\)も求まる）：\[(2x-y+a_0)(x+2y+b_0)=2x^2+3xy-2y^2-3x+4y+C_0\]与式より\(2x^2+3xy-2y^2-3x+4y=5\)でしたから
\begin{align*}
&(2x-y+a_0)(x+2y+b_0)=2x^2+3xy-2y^2-3x+4y+C_0\\
\Longleftrightarrow&~(2x-y+a_0)(x+2y+b_0)=5+C_0
\end{align*}を得ます。以上を実際行うと，
\[(2x-y+1)(x+2y-2)=2x^2+3xy-2y^2-3x+4y-2=5-2=3\]となります。

…ともあれ因数分解できました。あとは右辺の因数の組み合わせが\((1,3),(-1,-3),(3,1),(-3,-1)\)のみであることから\((x,y)=(1,2),(-1,0)\)を得ます。

2.
これも因数分解…と思いきや，1.のようにうまく因数分解できない。お手上げか…？
そこで姿勢を変えて論理で攻めてみます。

解答
\begin{align*}
&x^2-4xy+5y^2+2x-5y-1=0\\
\Longleftrightarrow~&x^2-2(2y-1)x+5y^2-5y-1=0\\
\Longleftrightarrow~&x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2}
\end{align*}これが整数解をもつならば，\(-y^2+y+2\geq 0\)であることが必要．
\begin{align*}
&-y^2+y+2\geq 0\\
\Longleftrightarrow~&y^2-y-2\leq 0\\
\Longleftrightarrow~&(y-2)(y+1)\leq 0\\
\Longleftrightarrow~&-1 \leq y\leq 2
\end{align*}

\(y\)は整数であるから，\(y=-1,0,1,2\)
\(y=-1\)のとき\(x=-3\)，
\(y=0\)のとき\(x=-1\pm \sqrt{2}\)，
\(y=1\)のとき\(x=1\pm \sqrt{2}\)，
\(y=2\)のとき\(x=3\)，

ゆえに\((x,y)=(-1,-3),(2,3)\)が求めるものである．

解答終

必要条件なのに逆の考察をしていないのは同値だからです。論理式で記述すると
\begin{align*}
&x,y\in \mathbb{Z},x^2-4xy+5y^2+2x-5y-1=0\\
\Longleftrightarrow~&x,y\in \mathbb{Z} \land x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2}\\
\Longleftrightarrow~& x,y\in \mathbb{Z} \land x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2} \land -y^2+y+2\geq 0\\
\Longleftrightarrow~& x,y\in \mathbb{Z} \land x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2} \land -1\leq y \leq 2\\
\Longleftrightarrow~& x,y\in \mathbb{Z} \land x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2}\\
&\land (y=-1 \lor y=0 \lor y=1 \lor y=2)\\
\Longleftrightarrow~& \left(x,y\in \mathbb{Z} \land x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2} \land y=-1\right)\\
\lor & \left(x,y\in \mathbb{Z} \land x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2} \land y=0\right)\\
\lor & \left(x,y\in \mathbb{Z} \land x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2} \land y=1\right)\\
\lor & \left(x,y\in \mathbb{Z} \land x=(2y-1)\pm\sqrt{-y^2+y+2} \land y=2\right)\\
\Longleftrightarrow~& (x,y\in \mathbb{Z} \land x=-3 \land y=-1)\\
\lor & (x,y\in \mathbb{Z} \land x=-1\pm \sqrt{2} \land y=0)\\
\lor & (x,y\in \mathbb{Z} \land x=1\pm\sqrt{2} \land y=1)\\
\lor & (x,y\in \mathbb{Z} \land x=3 \land y=2)\\
\Longleftrightarrow~&(x,y\in \mathbb{Z} \land x=-3 \land y=-1)\lor (x,y\in \mathbb{Z} \land x=3 \land y=2)\\
\Longleftrightarrow~&x,y\in \mathbb{Z} \land (( x=-3 \land y=-1)\lor (x=3 \land y=2))\\
\Longleftrightarrow~&( x=-3 \land y=-1)\lor (x=3 \land y=2)
\end{align*}ということをしています。ちなみに，\(1.,2.\)それぞれを図示すると\(1.\)は双曲線，\(2.\)は楕円になります。

解答

\(2020\)を法として考える．以下，\(\mod 2020\)を省略して記述する．
\(10000\equiv10000+2020\cdot(-5)\equiv-100\)であるから，
\begin{align*}
10^{10}\equiv&10^2\cdot(10^4)^2\\
\equiv &10^2\cdot(-100)^2\\
\equiv &10^2\cdot10000\\
\equiv &10^2\cdot(-100)\\
\equiv &-10000\\
\equiv &-(-100)\\
\equiv &100
\end{align*}

ゆえに\(10^{10}\equiv100\)（\(1.\)の答え）

\(100\)桁の正の整数で各位の数の和が\(2\)であるような数は
\begin{align*}
\mathrm{(i)}\quad &2\underbrace{0\cdots0}_{99\text{個}}=2\times10^{99}\\
\mathrm{(ii)}\quad &1\underbrace{0\cdots01\overbrace{0\cdots0}^{k\text{個}}}_{99\text{個}}=10^{99}+10^k\quad(0\leq k \leq 98)
\end{align*}のいずれかである．

\(\mathrm{(i)}\)のとき
\(1.\)により\(10^{10}\equiv10^2\)であることに注意して，
\begin{align*}
2\times10^{99}\equiv&2\cdot10^{9}\cdot(10^{10})^9\\
\equiv&2\cdot10^{9}\cdot(10^{2})^9\\
\equiv&2\cdot 10^{27}\\
\equiv&2\cdot(10^{10})^2\cdot10^7\\
\equiv&2\cdot(10^{2})^2\cdot10^7\\
\equiv&2\cdot10^{11}\\
\equiv&2\cdot10^{10}\cdot10\\
\equiv&2\cdot10^{2}\cdot10\\
\equiv&2000\\
\end{align*}ゆえにこの数は\(2020\)で割り切れない．

\(\mathrm{(ii)}\)のとき
\(10^{99}+10^{k}\equiv 1000 + 10^{k}\)より（なぜならば\(\mathrm{(i)}\)の途中過程により\(10^{99}\equiv1000\)），\(1000+10^k\equiv 0(\Leftrightarrow 10^{k}\equiv -1000)\)を満たす\(k~(0\leq k \leq 98)\)の個数を調べればよい．\(k\)の値は高々\(99\)個なので，実際に調べてみると（やる気），

\(1,10\)から始まり，\(100,1000,-100,-1000\)と繰り返すことがわかる．したがって，\(99=2+4\times 24+1\)により求める個数は\(24\)個とわかる．（\(2.\)の答え）

解答終

\begin{align*}
&|b-c| < a < b+c\\
\Longleftrightarrow~& |b-c| < a \land a < b+c\\ \Longleftrightarrow~& -a < b-c < a \land a < b+c\\ \Longleftrightarrow~& -a < b-c \land b-c < a \land a < b+c\\ \Longleftrightarrow~& c < a+b \land b < a+c \land a < b+c \end{align*} なのでどっち使ってもOKです。