外積の分配法則

\[\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\]

\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\)を証明します。

図のように,空間上に\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)があったとしましょう。

\(\overrightarrow{a}\)の始点を通り,\(\overrightarrow{a}\)に垂直な平面を\(\alpha\)とし,\(\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)からその平面\(\alpha\)への正射影ベクトルをそれぞれ\(\overrightarrow{b^{\prime}},\overrightarrow{c^{\prime}}\)とおきます。

このとき,下図のような位置関係があることに注意しておきます。

図を動かしてイメージしてみてください(右クリックを押しながらドラッグすると動きます)。

さて,このとき,\begin{align*}
\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=&\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\tag{1}\\
=&\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c^{\prime}}\tag{2}\\
=&\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}\tag{3}
\end{align*}が言えます。順にみていきます。

\((1)\)について:
\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c},\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}}\)は同一平面上にありますから,まず\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)と\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\)の向きは同じであることが分かります。そして,\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)が作る平行四辺形の面積と,\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}}\)が作る平行四辺形の面積は等しいので(等積変形),\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)と\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\)の大きさも等しい。したがって\[\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\tag{1}\]です。

\((2)\)について:
\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b^{\prime}},\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c^{\prime}},\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\)の向きはどれも\(\overrightarrow{a}\)を軸に\(90^{\circ}\)回転させた向きになります。そして大きさは(どれも\(\overrightarrow{a}\)と直交していることに注意すれば)それぞれ\(|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b^{\prime}}|,|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c^{\prime}}|,|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}}|\),すなわちどれも自分の大きさを\(|\overrightarrow{a}|\)倍したものです。

(上の図は見やすさのため\(\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})\)だけ図示)これを,真上から見たものが下の図がです。

この図から,\[\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{c^{\prime}})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b^{\prime}}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c^{\prime}}\tag{2}\]であることが分かります。

\((3)\)について:
\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{b^{\prime}}\)は同一平面上にありますから,まず\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b^{\prime}}\)の向きは同じであることが分かります。そして,\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が作る平行四辺形の面積と,\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b^{\prime}}\)が作る平行四辺形の面積は等しいので(等積変形),\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\)と\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b^{\prime}}\)の大きさも等しい。したがって\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b^{\prime}}\tag{3}\]です。

\(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c^{\prime}}\)も同様です。

以上により証明が完了しました。

点と平面の距離

平面\(ax+by+cz+d=0\)と点\(P(x_0,y_0,z_0)\)との距離の公式を作ってみます。

平面\(ax+by+cz+d=0\)と点\(P(x_0,y_0,z_0)\)との距離は\[\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]で与えられる.

証明

\((a_0,b_0,c_0)\)を平面上の点とする.点\(P\)から平面へおろした足を\(H\)とおけば,線分\(PH\)の長さは正射影ベクトル\((\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{e})\overrightarrow{e}\)の大きさと等しい.したがって
\begin{align*}
PH=&\left|(\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{e})\overrightarrow{e}\right|\\
=&\left|\left(\begin{array}{c} x_0-a_0 \\ y_0-b_0 \\ z_0-c_0 \end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)\right|\\
=&\frac{|a(x_0-a_0)+b(y_0-b_0)+c(z_0-c_0)|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
=&\frac{|ax_0+by_0+cz_0-aa_0-bb_0-cc_0|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\
\end{align*}\((a_0,b_0,c_0)\)は平面上の点なので,\(aa_0+bb_0+cc_0+d=0\)すなわち\(d=-aa_0-bb_0-cc_0\)が成り立つことから\[\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]を得る.

証明終

おもしろポイント:
・お馴染み点と直線の距離の公式\(\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)に似てること
・なんかすごいかんたんに導けること
正射影ベクトルきもちいい

平面の方程式

平面の方程式を作ってみます。

ここでは,平面はその平面の垂直方向とその平面が通る1点が定まれば決定することに着目します。平面の法線ベクトルを\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\),平面が通る1点の座標を\(A(a_0,b_0,c_0)\),平面上の任意の点を\(P(x,y,z)\)とおくことにします。\begin{align*}
&\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{n} = 0\\
\Longleftrightarrow~ &\left(\begin{array}{c} x-a_0 \\ y-b_0 \\ z-c_0 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}\right)= 0\\
\Longleftrightarrow~ &a(x-a_0)+b(y-b_0)+c(z-c_0)=0\\
\Longleftrightarrow~ &ax+by+cz-aa_0-bb_0-cc_0=0\\
\Longleftrightarrow~ &ax+by+cz+d=0
\end{align*}よって,平面の方程式は\(ax+by+cz+d=0\)と書けること,そしてその法線ベクトルが\((a,b,c)\)で表されることが分かりました(途中,\(-aa_0-bb_0-cc_0=d\)とおきました)。直線の方程式が\(ax+by+c=0\)と書けること,そしてその法線ベクトルが\((a,b)\)で表されることにそっくりですね。

斜交座標系

\(\Delta ABC\)において,辺の中点を\(C\),辺\(OB\)を\(2:1\)に内分する点を\(D\)とし,線分\(AD\)と線分\(BC\)の交点を\(P\)とする.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)とするとき,\(\overrightarrow{OP}\)を\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)を用いて表せ.

定期考査に必ず出題される定番中の定番の問題です。教科書のような例の解法のほかにも様々な解法が考えられますが,個人的には以下のように考えるのが好きです。

解答

\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)を基底とする斜交座標系を考える.その座標系における直線\(AD\)の方程式は\(x+\frac{3}{2}y=1\),直線\(BC\)の方程式は\(2x+y=1\)(下図参照).この2式を連立して\(x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{2}\).したがって\[\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}\]を得る.

解答終

高校2年生の問題が,中学1年生レベルの単純な連立方程式の問題に帰着します。直線は\(y=ax+b\)だけじゃなく\(\frac{x}{a_0}+\frac{y}{b_0}=1\)(切片型)と書けることは常識にしておきましょう。

この教科書の超基本問題はこのように面白い解法がいくつかあって,教科書の解法だけで終わらせるにはもったいない問題。ゆっくり立ち止まって色々と学んでおきたい問題です。もちろん教科書の解法も重要(※)です。

※ 重要なんだけど問題はその学び方。この解法を「\(s:1-s\)とおいて\(t:1-t\)とおいて~」みたいなこの問題「特有の」手順として学ぶひとが多い。そんな頭の解法ストックに+1するだけの理解(暗記?)だけではなく,これはベクトル方程式と絡めた視点(ベクトル方程式を立てているという認識)をも学ぶべき。そうすればこの一連の手続きは「解法」なんて仰々しいものじゃない,極めて自然でかつ汎用性のある(=模試レベルでも使える)知識になります。

位置ベクトルの利用

座標空間において,\(3\)点\(A(0,1,1),B(2,2,3),C(4,0,2)\)を通る平面に関して,点\(P(9,1,1)\)と対称な点の座標を求めなさい.

(実用数学検定\(1\)級 計算技能検定)

数検の計算問題ですが,「対称点の座標が欲しい」というのは大学入試問題でもよく出会うシチュエーションだと思います.いろいろな解法が考えられますが,ここでは位置ベクトルを用いて求めてみます.作戦はこうです:

求める点の座標を\(P’\)とします.位置ベクトルの定義により,空間上の座標\(P’\)とベクトル\(\overrightarrow{OP’}\)の成分は1対1に対応してますから,\(\overrightarrow{OP’}\)を求まるということそれは空間上の座標\(P’\)が求まることに等しい.そこで\(\overrightarrow{OP’}\)を求めることにします.点\(P\)から平面上に下した垂線の足の座標を\(H\)とおけば,\(\overrightarrow{OP’}=\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{PH}\)とできます.\(\overrightarrow{PH}\)を求めます.

ここで,正射影ベクトル\((\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{e})\overrightarrow{e}\)は\(\overrightarrow{HP}\)に等しい(\(\overrightarrow{e}\)は平面に垂直な単位ベクトル,外積によって直ちに求まる).したがって\begin{align*}
\overrightarrow{OP’}=&\overrightarrow{OP}+2\overrightarrow{PH}\\
=&\overrightarrow{OP}-2(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{e})\overrightarrow{e}
\end{align*}となる.\(\overrightarrow{AP}=\left(\begin{array}{c}9\\0\\0\end{array}\right)\),そして\(\overrightarrow{e}=\dfrac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1\\2\\-2\end{array}\right)\)であるから,
\begin{align*}
\overrightarrow{OP’}=&\left(\begin{array}{c}9\\1\\1\end{array}\right)-2\left(\left(\begin{array}{c}9\\0\\0\end{array}\right)\cdot \dfrac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1\\2\\-2\end{array}\right)\right)\dfrac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1\\2\\-2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}7\\-3\\5\end{array}\right)
\end{align*}したがって求める座標は\((7,-3,5)\)と求まります.

「座標が欲しければ位置ベクトル調べればいいじゃん」というシンプルな発想で片付き,また未知数を設定する必要もなく,計算量も少ない.そして何よりその「(空間上の)座標を知りたい」なんて状況はそれこそ頻繁に出会うシチュエーションです(サイクロイド等の媒介変数表示,複素数の回転など).これが位置ベクトルの‘嬉しい点’であり,位置ベクトルを学ぶ意味だと思う.しかし教科書ではこれを強調しないし,教える側も教科書に右ならえ….が,受験生としては空間上の座標を求める際の強力な手法としてぜひ常識としてほしい手法の一つです.

使おう,位置ベクトル

位置ベクトルとは,「始点が原点であるようなベクトル」のことです.

平面上の任意の点\(\mathrm{A}\)に対して,ベクトル\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\boldsymbol{a}\)をその位置ベクトルという.ただし\(\mathrm{O}\)は座標の原点である.

松坂和夫「線形代数入門」岩波書店

 

なぜ「始点が原点である」だけで「位置ベクトル」なんて名前をつけてまで差別化するのでしょうか.それは,始点が原点にあるがゆえに,ベクトルの成分とベクトルの先っぽ(終点)が指し示す点の座標が一致するからです.例えば,点\(\mathrm{P}\)の座標が\((2,1)\)であるならば,位置ベクトル\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)の成分は\(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)\)だし,逆に位置ベクトル\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)の成分が\(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)\)ならば点\(\mathrm{P}\)の座標は\((2,1)\)です.単純なことですが,位置ベクトルにおいてはこの性質-座標とベクトルが同一視できること-が極めて重要です.

※注意1 ベクトルの成分を縦に書いたものを「列ベクトル(または縦ベクトル)」と呼びます.他方,ベクトルの成分を横に書いたものを(高校教科書での記法)「行ベクトル(横ベクトル)」とよびます.どちらも同じものですがベクトルの成分を書くときは高校段階であっても行ベクトルではなく列ベクトルで表記した方がいいでしょう.どうせ大学へ行けば列ベクトル表記の方がむしろ当たり前になりますし,高校段階であってもそれが「成分」なのか「座標」なのかを意識するためにベクトル(の成分)は横,座標は縦,と区別して書くべきです.また列ベクトルだと成分計算がし易いという利点もあります.テスト・模試等でも列ベクトルを用いても大丈夫です.減点されることは絶対にありえませんから.

※注意2 問題によっては「点\(A\)に関する位置ベクトルを…」といい,始点を\(A\)などととることがあります.その場合には,「点\(A\)を自前で設定した座標系の原点」と考えればいいだけです.

位置ベクトルをこのように「始点を原点にとったときのベクトル;矢印の終点が指し示す座標」と見なせば,次のような問題も容易に発想できます.

半径の円\(a\)の円が\(x\)軸上を滑ることなく回転するとき,円上の定点\(\mathrm{P}\)の描くサイクロイドの媒介変数表示を求めよ.ただし,点\(\mathrm{P}\)の最初の位置を原点\(\mathrm{O}\),円の中心の最初の位置を\((0,a)\)とする.

どのような状況なのかイメージするは,言葉で説明するより図を見た方が早いでしょう.

この赤線上の点\(\mathrm{P}\)の座標を求めることを考えます.欲しいものは点\(\mathrm{P}\)の座標なわけですが,『点\(\mathrm{P}\)の座標=\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)の成分』でしたから,位置ベクトル\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)を求めることにします.


ベクトルなのだから,ベクトルの和の定義により,下図のように\[\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}+\overrightarrow{\mathrm{HC}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}\]と分解できます.

したがって\(\overrightarrow{\mathrm{OH}},~\overrightarrow{\mathrm{HC}},~\overrightarrow{\mathrm{CP}}\)をそれぞれ求めればよい.

まず\(\overrightarrow{\mathrm{OH}}\)から.

このベクトルは始点が既に原点にありますから,位置ベクトル,すなわちその成分と終点が指し示す座標が一致しているはずです.したがって\(\overrightarrow{\mathrm{OH}}\)の終点が指し示す座標を調べればよい.\(\mathrm{OH}=\text{孤}\mathrm{PH}\)であることに注意すると(「滑らずに」転がしたんだから!右図参照),\(\mathrm{OH}=a\theta\).したがって点\(\mathrm{H}\)の座標は\((a\theta,0)\)で,(座標と成分が対応するから)\(\overrightarrow{\mathrm{OH}}\)の成分は\(\left(\begin{array}{c} a\theta \\ 0 \\ \end{array} \right)\)となります.

次に\(\overrightarrow{\mathrm{HC}}\).

始点が原点にあれば,そのまま終点が指し示す座標を読めばいいのですが,これは始点は原点ではありませんね.しかしベクトルは向きと大きささえ変えさえしなければ自由に動かせるのでしたから,始点を原点にとってから,その終点の座標を読めばよいでしょう.始点を原点にとったときのベクトルの終点が指し示す座標は\((0,~a)\)ですから,そのベクトルの成分は\(\overrightarrow{\mathrm{OH}}\)の成分は\(\left(\begin{array}{c} 0 \\ a \\ \end{array} \right)\)となります.

最後に\(\overrightarrow{\mathrm{CP}}\).

やはり始点を原点にとってから,その終点の座標を読みましょう.始点を原点にとったときのベクトルの終点が指し示す座標は
\begin{align*}
&(a\cos\left(-\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right),~a\sin\left(-\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right))\\
=&(a\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right),~-a\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right))\\
=&(-a\sin \theta,~-a \cos \theta)
\end{align*}
ですから,求めるベクトルの成分は\(\left(\begin{array}{c} -a\sin \theta \\ -a \cos \theta \\ \end{array} \right)\)となります.

以上により,
\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{OP}}&=\overrightarrow{\mathrm{OH}}+\overrightarrow{\mathrm{HC}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}\\
&=\left(\begin{array}{c} a\theta \\ 0 \\ \end{array} \right)+\left(\begin{array}{c} 0 \\ a \\ \end{array} \right)+\left(\begin{array}{c} -a\sin \theta \\ -a \cos \theta \\ \end{array} \right)\\
&=\left(\begin{array}{c} a(\theta-\sin \theta) \\ a(1 – \cos \theta) \\ \end{array} \right)\\
\end{align*}

(くどいようですが)位置ベクトルの成分とその終点が指し示す座標は対応しているのですから,結局,
\[
\begin{eqnarray}
\begin{cases}
x = a(\theta-\sin \theta) & \\
y = a(1 – \cos \theta) &
\end{cases}
\end{eqnarray}
\]

が得られたことになります.

位置ベクトルについて強調すべきはその定義「始点が原点であるようなベクトル」であり,ゆえに,「ベクトルを座標と見なせる」点だと思うのですが,教科書はそこが強調されていない.僕はかつて予備校でこれを習いましたが,ベクトルが初めて「道具として役に立つ」と感じられたこと,そしてベクトルを座標とみなすという別の概念を同一視するという感覚が新鮮で嬉しかった記憶があります.実際,位置ベクトルを用いるとカージオイドやエピサイクロイドなどの他の曲線もまったく同様に媒介変数表示できますし,また数学Ⅲで学ぶ複素数平面においても有用です(例によって教科書では位置ベクトルを用いた説明などしてはくれません).教科書を機械的・天下り的になぞるのもひとつの学習法ではありますが,こういったことを学ぶのもまた大事です.

ついでながら.教科書は「誤り・誤植がほとんどない」という意味においては最も信頼できる本のひとつだと思います.が,しかし,「誤りがないこと=最善」であるとは限りません.教科書と違う考え方・解法というものに抵抗を感じる人も少なくないと思いますが,食わず嫌いせずに興味をもって身に付けてみましょう.きっともう一皮むけますから.

もっと積極的に使おうぜ,位置ベクトル.

法線ベクトル

\[
\begin{align*}
&ax+by+c=0\\
\Longleftrightarrow~&a\left(x+\frac{c}{2a}\right)+b\left(y+\frac{c}{2b}\right)=0\\
\Longleftrightarrow~&\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x+\frac{c}{2a}\\y+\frac{c}{2b}\end{array}\right)=0\\
\Longleftrightarrow~&\left(\begin{array}{c}a\\b\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x-\left(-\frac{c}{2a}\right)\\y-\left(-\frac{c}{2b}\right)\end{array}\right)=0\\
\end{align*}
\]
最後の式の主張は「点\((x,~y)\)と点\(\left(-\frac{c}{2a},~-\frac{c}{2b}\right)\)を結んだベクトルが,ベクトル\((a,~b)\)と垂直になる」ということ(内積が0ですから).そのような条件をみたす点\((x,~y)\)の集まりは当然,直線となるわけですが,同値変形の元の式を見ると,その直線は\(ax+by+c=0\)という直線です.したがって直線\(ax+by+c=0\)に垂直なベクトル(の1つ)が\((a,~b)\),であると言えます.

「\(ax+by\)という1次結合の形が現れたら,内積とみる」という視点は受験数学においても大切な視点です.

点と直線の距離の公式の証明

点と直線の距離の公式を証明してみましょう.

直線\(l:ax+by+c=0\)と,この直線上にない点を\(\mathrm{P}(x_0,~y_0)\),そして下図に示す直線\(l\)上の点を\(\mathrm{A}(p,~q)\)とします.

まず\(l\)の法線ベクトルを求め,図示します.法線ベクトルは\(x\)と\(y\)との係数から\((a,~b)\)でしたね(なぜ?).また,\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)を図示しておきます.(下図では\((a,~b)\)を列ベクトルで表記しています.)

求めたいものも図示しておきましょう.それは,

上図の赤い線分\(\mathrm{AH}(=|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|)\)ですね.

気づいたでしょうか?これはほかならぬ正射影ベクトル(の大きさ)です.ですから結局,「点と直線の距離は,正射影ベクトルを求めて,その大きさを求めればよい」と分かります.

ここで正射影ベクトルの公式の出番です!

正射影ベクトルを求めるために,ベクトル\((a,~b)\)を正規化(大きさを1にすること)しておきましょう:
\[\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}
\left(\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}\right)
\]
このベクトルを\(\overrightarrow{n}\)とおきます.すると,正射影ベクトルの公式から,\(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\)は\[(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}\]と書けますね.\[\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left(\begin{array}{c} x_0\\ y_0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} p\\ q\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_0-p\\ y_0-q\end{array}\right)
\]
ですから,計算すると
\[
\begin{align*}
&\overrightarrow{\mathrm{AH}}=(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}\\
=&\left\{\left(\begin{array}{c} x_0-p\\ y_0-q\end{array}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}
\left(\begin{array}{c}
a \\
b \\
\end{array}\right)\right\}\overrightarrow{n}\\
=&\frac{a(x_0-p)+b(y_0-q)}{\sqrt{a^2+b^2}}\overrightarrow{n}
\end{align*}
\]
\(\mathrm{AH}=|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|\)ですから,\(\left| \overrightarrow{n}\right|=1\)であることに注意して,
\[
\begin{align*}
\mathrm{AH}=&|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|\\
=&\left|\frac{a(x_0-p)+b(y_0-q)}{\sqrt{a^2+b^2}}\overrightarrow{n}\right|\\
=&\frac{|ax_0+by_0-ap-bq|}{\sqrt{a^2+b^2}}|\overrightarrow{n}|\\
=&\frac{|ax_0+by_0-ap-bq|}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{align*}
\]
ここで,\((p,~q)\)は直線\(l\)上の点でしたから,\[ap+bq+c=0\quad \text{すなわち}\quad c=-ap-bq\]が成り立ちます.したがって,上の式は結局
\[\mathrm{AH}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]となります.

この証明のいいところは,まず簡潔で記述量(計算量)が少ない(=かっこいい)という点,それにこの公式の三次元バージョンとでもいいますか「点の平面の距離の公式」を導出する際もまったく同じように応用できるという点です.他にも,数学検定1級1次の問題でこのアイデアが使える問題がありました.いずれ紹介したいと思います.

また,この証明を通して「正射影ベクトルの公式」の使いどころも感じて貰えたかと思います.

今回はとりあえずここまでにして,「点と平面の距離の公式」も後ほど記事にしてみたいと思います.

基本ベクトルの外積

同じ基本ベクトル同士の外積は,\(\overrightarrow{0}\)になります.なぜなら,同じベクトルですからその2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は0であるから,外積の大きさも0(外積の定義ⅲを参照),したがって\(\overrightarrow{0}\)です.

異なる基本ベクトル同士の外積ならどうでしょうか.たとえば,\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)を考えてみます.

\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)とは,外積の定義ⅰとⅱにより,図1に示す赤いベクトルであるといえます.さらに,\(\overrightarrow{e_1}\)と\(\overrightarrow{e_2}\)が作る平行四辺形は,正方形ですから,その面積は\(1\times1=1\)です.したがって,先ほどの赤いベクトル\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)の大きさは\(1\)である,と言えます(図2参照).

以上により,\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}\)は上の図の赤いベクトルで,しかもその大きさは\(1\)であることが分かります.このベクトルはほかならぬ\(\overrightarrow{e_3}\)ですね.同様に考え,\(\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}\)や\(\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_2}\)なども導出できます.

ベクトルの外積

外積を定義します.

外積

    1. \(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)に対して垂直で,
    2. その向きが,\(\overrightarrow{a}\)から\(\overrightarrow{b}\)へねじを回したときにねじが進む向きと一致し,
    3. その大きさが,\(\overrightarrow{a}\)と\(\overrightarrow{b}\)が作る平行四辺形の面積と一致する

ようなベクトルを「外積(outer product)」と呼び,\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\]と表す.

ことにします.上図の赤いベクトルですね.定義しただけでは役に立たないので,実際にこの外積を求めてみましょう.\(\overrightarrow{a}=(a_1,~a_2,~a_3),~\overrightarrow{b}=(b_1,~b_2,~b_3)\)とおくことにします.

まず,\(\overrightarrow{a}\)は基本ベクトル\(\overrightarrow{e_1}=(1,~0,~0),~\overrightarrow{e_2}=(0,~1,~0),~\overrightarrow{e_3}=(0,~0,~1)\)を用いて,
\[
\begin{align*}
\overrightarrow{a}=
&\left(
\begin{array}{c}
a_1\\
a_2\\
a_3
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
a_1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
0\\
a_2\\
0
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
a_3
\end{array}
\right)\\
&=a_1\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
a_2\left(
\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}
\right)
+
a_3\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right)\\
&=a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}
\end{align*}
\]

と\(e_1,~e_2,~e_3\)の1次結合で表すことができます.同様にして

\[\overrightarrow{b}=b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3}\]

したがって外積\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)は

\[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})\times(b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3})\]

と書けることになります.これを「計算」してみればよい.しかしここでひとつ問題があります.「\(\times\)」に関する計算法則を,まだ私たちはなにも知りません(普段使っている「掛ける」とは見た目が同じだけで別物です).したがって,まずこの「\(\times\)」がどのような計算法則を持つのか,調べなくてはなりません.

結論から先に述べますと,

\[
\begin{align*}
&\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}\tag{A}\\
&k(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=(k\overrightarrow{a})\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times (k\overrightarrow{b})\tag{B}\\
&\overrightarrow{a}\times(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}\tag{C}
\end{align*}
\]

が成り立ちます(\(\mathrm{(A)}\)は定義より明らか.\(\mathrm{(B)}\),\(\mathrm{(C)}\)).注意したいのは,1つ目,「交換するとマイナスがつく」ということです.外積という新しい定義を導入したわけですから,当然,これまでの常識(交換法則)が通用するとは限らないわけです.

では,これらの計算法則に従って,計算してみましょう(実際に紙に書いて手を動かしてみることをおすすめします).

\[
\begin{align*}
&~\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\\
=&~(a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3})\times(b_1\overrightarrow{e_1}+b_2\overrightarrow{e_2}+b_3\overrightarrow{e_3})\\
=&~a_1\overrightarrow{e_1}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_1\overrightarrow{e_1}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_1\overrightarrow{e_1}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
&+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_2\overrightarrow{e_2}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
&+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_1\overrightarrow{e_1}+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_2\overrightarrow{e_2}+a_3\overrightarrow{e_3}\times b_3\overrightarrow{e_3}\\
=&~a_1b_1(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_1})+a_1b_2(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2})+a_1b_3(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_3})\\
&+a_2b_1(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_1})+a_2b_2(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2})+a_2b_3(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3})\\
&+a_3b_1(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1})+a_3b_2(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_2})+a_3b_3(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_3})
\end{align*}
\]

ここで,

\[
\begin{align*}
&\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{0} \\
&\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3},\quad\overrightarrow{e_1}\times\overrightarrow{e_3}=-\overrightarrow{e_2}\\
&\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_1}=-\overrightarrow{e_3},\quad\overrightarrow{e_2}\times\overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1}\\
&\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2},\quad\overrightarrow{e_3}\times\overrightarrow{e_2}=-\overrightarrow{e_1}
\end{align*}
\]

ですから(なぜ?),結局外積\(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\)は
\[
\begin{align*}
\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}
=&~a_1b_1\cdot \overrightarrow{0}+a_1b_2\overrightarrow{e_3} -a_1b_3\overrightarrow{e_2}\\
&-a_2b_1\overrightarrow{e_3}+a_2b_2\cdot \overrightarrow{0}+a_2b_3\overrightarrow{e_1}\\
&+a_3b_1\overrightarrow{e_2}-a_3b_2\overrightarrow{e_1}+a_3b_3\cdot \overrightarrow{0}\\
=&~(a_2b_3-a_3b_2)\overrightarrow{e_1}+(a_3b_1-a_1b_3)\overrightarrow{e_2}+(a_1b_2-a_2b_1)\overrightarrow{e_3}\\
=&~(a_2b_3-a_3b_2)\left(
\begin{array}{c}
1\\
0\\
0
\end{array}
\right)
+
(a_3b_1-a_1b_3)\left(
\begin{array}{c}
0\\
1\\
0
\end{array}
\right)
+
(a_1b_2-a_2b_1)\left(
\begin{array}{c}
0\\
0\\
1
\end{array}
\right)\\
=&~\left(
\begin{array}{c}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{array}
\right)
\end{align*}
\]

を得ます.この結果は覚えておくとよいでしょう.以下のように覚えるのがおすすめです.

\[\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=\left(
\begin{array}{c}
a_2b_3-a_3b_2\\
a_3b_1-a_1b_3\\
a_1b_2-a_2b_1\\
\end{array}
\right)\]

内積(inner product)と言葉自体は似ているのですが,内積はスカラー量であるのに対して,外積はベクトル量であることに注意してください.

注意
高校数学においても垂直なベクトルを求めるシーンは多いのですが,高校範囲外なので,テストや模試等では検算にとどめておくのが無難かも知れません.