カテゴリー: 集合と位相

松坂和夫先生の「集合と位相」を読んでいて，次のような記述に出会いました．

その理由が，

実際，\(y\)を\(x\)と異なる\(S\)の点とすれば，\(x\)を含まない\(y\)の近傍があるから，\(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない．

だそうです．なるほど，わからない．さんざん調べ，悩んだ末…（　＾ω＾）

証明

\(S\)をHousdorff空間とする．１点\(x\in S\)をとる．\(y \in S-\{x\}\)を任意にとれば，\(x \neq y\)なので，\[U \in \mathbb{V}(x),~V \in \mathbb{V}(y),~U\cap V = \phi\]をみたす\(U,~V\)が存在する．このとき，\[y \in V \subset S-U \subset S-\{x\}\]\(V \subset S-\{x\}\)であることに着目すると，\(V \in \mathbb{V}(y)\)であるから，\(S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)\)である(※１)．\(y\)は\(S-\{x\}\)における任意の元であったから，結局\[\forall y \in S-\{x\}[S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)]\]が言えたことになる．ここで，
\[
\begin{align*}
\forall y \in S-\{x\}[S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)]\Longleftrightarrow~ S-\{x\} \in \mathfrak{O}
\end{align*}
\]であるから（※２），
\[
\begin{align*}
S-\{x\} \in \mathfrak{O}~\Longleftrightarrow~ &(S-\{x\})^c \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &(S\cap\{x\}^c)^c \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &S^c\cup\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &\phi\cup\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\Longleftrightarrow~ &\{x\} \in \mathfrak{A}
\end{align*}
\]証明終

…でぎだっ！！

※１の証明

証明
\(V \in \mathbb{V}(x) \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} x \in V^{i}\)であることと，\(V \subset V’ \Longrightarrow V^i \subset V’^i\)であることから，
\[
\begin{align*}
V \in \mathbb{V}(x), V \subset V’ \Longrightarrow~&x \in V^{i},V^i \subset V’^i\\
\Longrightarrow~&x \in V^{i}\subset V’^i\\
\Longrightarrow~&x \in V’^i\\
\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}~& V’\in \mathbb{V}(x)
\end{align*}
\]証明終

※２の証明

証明
\begin{align*}
\forall x \in O[O \in \mathbb{V}(x)]\Longleftrightarrow~&\forall x[x \in O \rightarrow x \in O^i]\\
\Longleftrightarrow~&x \in O \Rightarrow x \in O^i\\
\Longleftrightarrow~& O \subset O^i\\
\Longleftrightarrow~& O = O^i\\
\Longleftrightarrow~& O \in \mathfrak{O}
\end{align*}証明終

…とりあえずこれで片付いたのでよかったんだけど，本にあった

実際，…（中略）…　\(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない．

とは何だったのか…？落ち着いて調べてみると，

任意の\(y \in S-\{x\}\)に対して，
\begin{align*}
\text{\(y \in \overline{\{x\}}\)とはならない}\Longleftrightarrow~& y \notin \overline{\{x\}}\\
\Longleftrightarrow~&y \notin \{x\}^a\\
\Longleftrightarrow~&y \in \{x\}^{ac}\\
\Longleftrightarrow~&y \in \{x\}^{ci}\\
\Longleftrightarrow~&y \in (S-\{x\})^{i}\\
\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}~&S-\{x\} \in \mathbb{V}(y)\\
\Longleftrightarrow~&S-\{x\} \in \mathfrak{O}&\text{∵上の※２}\\
\Longleftrightarrow~&\{x\} \in \mathfrak{A}\\
\end{align*}
というわけですね．なるほど．（ここまでで半日以上潰す）

数学の本を読んでいるとよく見る言い回し「明らかに…」「直ちに…」「…は容易に示される」

…全然「明らか」じゃないし「直ちに」求まらないし「容易に」示せないんですけど！！

容易に示されるように，\(\mathbb{R}^n\)の任意の開球体\(B(x;\epsilon)\)は凸集合である．

ああ？（怒）

…まず準備．開球体の定義は，

線分\(\overline{ab}\)の定義は，

凸集合の定義は，

したがって，
\[a,b\in B(x;\epsilon) \Longrightarrow \overline{ab}\subset B(x;\epsilon)\]
を証明すればよい．やってみます．

証明
\[a,b\in B(x;\epsilon) \Longrightarrow \overline{ab}\subset B(x;\epsilon)\]が示されればよい．まず，仮定は
\[
\begin{align*}
a,b\in B(x;\epsilon)\Longleftrightarrow~&d(x,a)<\epsilon,d(x,b)<\epsilon\\
\Longleftrightarrow~&\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2} < \epsilon,\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-b_i)^2} < \epsilon
\end{align*}
\]結論は
\[
\begin{align*}
&\overline{ab}\subset B(x;\epsilon)\\
\Longleftrightarrow~&c \in \overline{ab} \Rightarrow c \in B(x;\epsilon)\\
\Longleftrightarrow~&c \in \{y\in \mathbb{R}^n|y=(1-t)a+tb,~0\leq t \leq 1\} \Rightarrow c \in \{y \in \mathbb{R}^n|d(x,y)<\epsilon\}\\
\Longleftrightarrow~&c=(1-t)a+tb,~0\leq t \leq 1 \Rightarrow d(x,c)<\epsilon\\
\Longleftrightarrow~&c=(1-t)a+tb,~0\leq t \leq 1 \Rightarrow \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-c_i)^2} < \epsilon
\end{align*}
\]だから結局，示すべきことは
\[\begin{cases}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2} < \epsilon,\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-b_i)^2} < \epsilon \\ c=(1-t)a+tb \\ 0\leq t \leq 1\end{cases}\Longrightarrow \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-c_i)^2} < \epsilon\]であることが分かる．
\[
\begin{align*}
\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-c_i)^2}=&\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-(1-t)a_i-tb_i)^2}&\text{（ア）}\\
=&\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left((1-t)(x_i-a_i)+t(x_i-b_i)\right)^2}\\
\leq &\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}((1-t)(x_i-a_i))^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(t(x_i-b_i))^2}&\text{（イ）}\\
= &(1-t)\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-a_i)^2}+t\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-b_i)^2}&\text{（ウ）}\\
< &(1-t)\epsilon+t\epsilon=\epsilon　&\text{（エ）}
\end{align*}
\]
（イ）はコーシーシュワルツの不等式，（ア）（ウ）（エ）は仮定による．（証明終）

「容易に」とか「明らかに」とか言われてそこの理解に時間かかったりあるいは理解できなかったりすると，こういうのが「容易に」「明らかに」理解できるレベルじゃなければあまり関わってはいけない世界なのかなと思って凹む…．が，それでも執念深く続けていればまた見える世界が変わってくるのかな？とも思います．頑張ろうっと．