カテゴリー: 大学数学

数学Aで次の式を学びました．

\[
\begin{align*}
n(A_1 \cup A_2)=&n(A_1)+n(A_2)\\
&-n(A_1 \cap A_2)
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
n(A_1 \cup A_2 \cup A_3)=&n(A_1)+n(A_2)+n(A_3)\\
&-n(A_1 \cap A_2)-n(A_1 \cap A_3)-n(A_2 \cap A_3)\\
&+n(A_1 \cap A_2 \cap A_3)
\end{align*}
\]

授業でベン図を用いて理解したことと思います．

この２つの式の流れ的に，

\[
\begin{align*}
&n(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)\\
=&~n(A_1)+n(A_2)+n(A_3)+n(A_4)\\
&-n(A_1 \cap A_2)-n(A_1 \cap A_3)-n(A_1 \cap A_4)-n(A_2 \cap A_3)-n(A_2 \cap A_4)-n(A_3 \cap A_4)\\
&+n(A_1 \cap A_2 \cap A_3)+n(A_1 \cap A_2 \cap A_4)+n(A_1 \cap A_3 \cap A_4)+n(A_2 \cap A_3 \cap A_4)\\
&-n(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)\\
\end{align*}
\]

などが，そしてさらに一般化して，

\[
n\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{n} A_i\right)=\displaystyle\sum_{i}^{n} n(A_i)-\displaystyle\sum_{i<j}^{n}n(A_i \cap A_j)+\displaystyle\sum_{i<j<k}^{n}n(A_i \cap A_j \cap A_k)-\cdots+(-1)^{n-1}\displaystyle\sum^{n}_{i<j<\cdots} n(A_i \cap A_j \cap \cdots )
\]

が成り立ちそうな気がします．

ここで，\(\displaystyle\bigcup_{i}^{n} A_i\)は\[A_1 \cup A_2 \cup ~\cdots~ \cup A_n\]を，\(\displaystyle\sum_{i<j}^{n}n(A_i \cap A_j)\)などは\(1\leq i<j\leq n~(i,j\in \mathbb{N})\)をみたす\(n(A_i \cap A_j)\)をすべて加えたものを意味するとします．

さて，この予想は正しいのでしょうか？？もはやベン図では太刀打ちできません．数学的帰納法で証明してみます．

証明

\(n=l\)のとき予想が正しいとします．この仮定のもとで，\(n=l+1\)のときを考えます．

\[
\begin{align*}
n\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l+1} A_i\right)&=n\left(\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l}A_i\right)\bigcup A_{l+1}\right)\\
&=n\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l}A_i\right)+n\left(A_{l+1}\right)-n\left(\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l}A_i\right) \bigcap A_{l+1}\right)
\end{align*}
\]

ここで，第三項にある\(\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l}A_i\right) \bigcap A_{l+1}\)について考えてみると，

\[
\begin{align*}
&\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l}A_i\right) \bigcap A_{l+1}\\
=&(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots \cup A_l)\cap A_{l+1}\\
=&(A_1 \cap A_{l+1} ) \cup (A_2 \cap A_{l+1} ) \cup (A_3 \cap A_{l+1} ) \cup \cdots \cup(A_l \cap A_{l+1} )\\
=&\bigcup^{l}_i(A_i \cap A_{l+1})
\end{align*}
\]

ですから，

\[n\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l+1} A_i\right)=n\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l}A_i\right)+n\left(A_{l+1}\right)-n\left(\bigcup^{l}_i(A_i \cap A_{l+1})\right)\quad \cdots(\ast)\]

を得ます．ここで仮定より，

\[
n\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l} A_i\right)=\displaystyle\sum_{i}^{l} n(A_i)-\displaystyle\sum_{i<j}^{l}n(A_i \cap A_j)+\displaystyle\sum_{i<j<k}^{l}n(A_i \cap A_j \cap A_k)-\cdots+(-1)^{n-1}\displaystyle\sum^{l}_{i<j<\cdots} n(A_i \cap A_j \cap \cdots )
\]

また，この式の\(A_i\)を\(A_i \cap A_{l+1}\)に変えることにより，

\[
\begin{align*}
&n\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l} (A_i \cap A_{l+1})\right)\\
=&\displaystyle\sum_{i}^{l} n(A_i \cap A_{l+1})-\displaystyle\sum_{i<j}^{l}n(A_i \cap A_{l+1} \cap A_j)+\displaystyle\sum_{i<j<k}^{l}n(A_i \cap A_{l+1} \cap A_j \cap A_k)-\cdots+(-1)^{n-1}\displaystyle\sum^{l}_{i<j<\cdots} n(A_i \cap A_{l+1} \cap A_j \cap \cdots )\\
=&\displaystyle\sum_{i}^{l} n(A_i \cap A_{l+1})-\displaystyle\sum_{i<j}^{l}n(A_i \cap A_j \cap A_{l+1})+\displaystyle\sum_{i<j<k}^{l}n(A_i  \cap A_j \cap A_k \cap A_{l+1})-\cdots+(-1)^{n-1}\displaystyle\sum^{l}_{i<j<\cdots} n(A_i  \cap A_j \cap \cdots \cap A_{l+1})
\end{align*}
\]

これら仮定を\((\ast)\)に代入すると，

\[
\begin{align*}
&n\left(\displaystyle\bigcup_{i}^{l+1} A_i\right)\\
=&\displaystyle\sum_{i}^{l} n(A_i)-\displaystyle\sum_{i<j}^{l}n(A_i \cap A_j)+\displaystyle\sum_{i<j<k}^{l}n(A_i \cap A_j \cap A_k)-\cdots+(-1)^{n-1}\displaystyle\sum^{l}_{i<j<\cdots} n(A_i \cap A_j \cap \cdots )\\
&+n\left(A_{l+1}\right)\\
&-\left\{\displaystyle\sum_{i}^{l} n(A_i \cap A_{l+1})-\displaystyle\sum_{i<j}^{l}n(A_i \cap A_j \cap A_{l+1})+\displaystyle\sum_{i<j<k}^{l}n(A_i  \cap A_j \cap A_k \cap A_{l+1})-\cdots+(-1)^{n-1}\displaystyle\sum^{l}_{i<j<\cdots} n(A_i  \cap A_j \cap \cdots \cap A_{l+1})\right\}\\
=&\left\{\displaystyle\sum_{i}^{l} n(A_i)+n\left(A_{l+1}\right)\right\}-\left\{\displaystyle\sum_{i<j}^{l}n(A_i \cap A_j)+\displaystyle\sum_{i}^{l} n(A_i \cap A_{l+1})\right\}+\left\{\displaystyle\sum_{i<j<k}^{l}n(A_i \cap A_j \cap A_k)+\displaystyle\sum_{i<j}^{l}n(A_i \cap A_j \cap A_{l+1})\right\}\\
&-\cdots+(-1)^{n-1}\left\{\displaystyle\sum^{l}_{i<j<\cdots} n(A_i \cap A_j \cap \cdots )+\displaystyle\sum^{l}_{i<j<\cdots} n(A_i  \cap A_j \cap \cdots \cap A_{l+1})\right\}\\
=&\displaystyle\sum_{i}^{l+1} n(A_i)-\displaystyle\sum_{i<j}^{l+1}n(A_i \cap A_j)+\displaystyle\sum_{i<j<k}^{l+1}n(A_i \cap A_j \cap A_k)-\cdots+(-1)^{n-1}\displaystyle\sum^{l+1}_{i<j<\cdots} n(A_i \cap A_j \cap \cdots )
\end{align*}
\]

となって\(n=l+1\)のときも成り立つことが分かります．\(n=1\)のとき成り立つことは自明．（証明終）

見た目はいかついですが高校レベルでも理解できる内容（未習の知識としては\(\bigcup\)の記法と「または，かつ」の分配法則くらい）なので，ぜひ証明にチャレンジしてみてください．集合，場合の数，数学的帰納法，\(\Sigma\)記号の使い方などの総復習にもなりますから．

ちなみに今回証明した式を包除原理と呼びます．

大学で微分積分学または解析学で最初にぶち当たる関門，\(\epsilon-\delta\)論法（\(\epsilon-N\)論法）．まずこれが理解できず相当ゲンナリするひとは結構多いと思います．自分もそうでした．かつて理解するのに苦労した一学生としてひとことメモしておこうと思います．

理解の第一歩は，そもそもなぜそのような定義が必要なのか？を感じることだと思います．

高校の教科書では数列の極限を，

数列\(\{a_n\}\)において，\(n\)を限りなく大きくするとき，\(a_n\)がある値\(\alpha\)に限りなく近づくならば，\(\{a_n\}\)は\(\alpha\)に収束する，または\(\{a_n\}\)の極限は\(\alpha\)であるといい，\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}=\alpha\]と書く．

と定義しています．この定義に従えば，例えば数列\(\{1+\frac{1}{n}\}\)において，\(n\)を限りなく大きくするとき，\(1+\frac{1}{n}\)は\(1\)に限りなく近づいているので，\(\{1+\frac{1}{n}\}\)は\(1\)に収束すると言えて，\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1\]と書ける，ということになります．

一見なんの問題もないように見えますし，高校数学の問題を解く上では何の問題もありません．しかし，上の定義はよく考えてみるとかなり怪しい．

例えば，数列\(\{1+\frac{1}{n}\}\)において，\(n\)を限りなく大きくするとき，\(1+\frac{1}{n}\)は（\(1\)そのものにならない以上）\(0\)にだって限りなく近づいている，とも言えるわけで，ならば上の定義に従って\[\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=0\]とも書ける，ということになります．例えるならば一関から仙台へ向かってる人は，仙台に到着しない限り，「東京へ向かっている」とも言えてしまう，ということです．

他にも，

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\alpha,~\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=\beta\)のとき，\[\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta\]とか\[\lim_{n\rightarrow \infty}ka_n=k\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\]とか\[\lim_{n\rightarrow \infty}a_nb_n=\alpha\beta,~\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}\]さらに「はさみうちの原理」などを数学Ⅲの序盤に「極限の性質」として学びましたがいざこれらを証明するとなるとどうすればいいのでしょうか（「原理」と名前がついていますがこれは証明すべき定理です）．

百歩譲ってこれらは「感覚的に明らか」と認めるにしても，例えば\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}x_n=0\)のとき，\[\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}=0\]はどうでしょう．これは感覚的に明らかでもないし，上の定義で証明しようとしても完全にお手上げです．

つまり上の高校教科書の定義は数学の定義としては不十分ということです．このような要請のもと，\(\epsilon-\delta\)論法（今は数列なので\(\epsilon-N\)論法）なる極限の新たな定義が必要になります．