「ならば」の否定

問題
\(a,~b\)を有理数とするとき,\(\sqrt{3}\)が無理数であることを用いて,「\(a+b\sqrt{3}=0\)ならば\(a=0\)かつ\(b=0\)」であることを証明せよ.

定番問題です。解答を見ると,次のように始まります。

\(b\neq 0\)とすると…

 
賢明な生徒であればここで「背理法かな?」気付くはず。それは正しい。では,与えられた命題「\(a+b\sqrt{3}=0\)ならば\(a=0\)かつ\(b=0\)」の否定が「\(b\neq 0\)」ということでしょうか?もちろん違いますよね。

「\(a+b\sqrt{3}=0\)ならば\(a=0\)かつ\(b=0\)」の否定がどうなるかに注意しつつ,証明を作ってみます。与えられた命題は論理記号を用いて「\(a+b\sqrt{3}=0\Longrightarrow a=0\land b=0\)」と書けることに注意して,

証明(その1)

\[\overline{ a+b\sqrt{3}=0 \Longrightarrow a=0 \land b=0}\]と仮定する.ここで,
\begin{align}
&\overline{ a+b\sqrt{3}=0 \Longrightarrow a=0 \land b=0} ~\cdots(\ast)\\
\Longleftrightarrow~ &\overline{\overline{a+b\sqrt{3}=0} \lor (a=0 \land b=0)}&(\Rightarrow \text{の定義})\\
\Longleftrightarrow~ &a+b\sqrt{3}=0 \land \overline{a=0 \land b=0}&(\text{ドモルガンの法則})\\
\Longleftrightarrow~ &a+b\sqrt{3}=0 \land (a \neq 0 \lor b \neq 0)&(\text{ドモルガンの法則})\\
\Longleftrightarrow~ &(a+b\sqrt{3}=0 \land a \neq 0 ) \lor (a+b\sqrt{3}=0 \land b \neq 0)~\cdots(\ast\ast)&(\text{分配法則})\\
\end{align}

したがって最後の行で示した命題\((\ast\ast)\)について吟味すればよい(\(a,b\)が有理数であることに注意).

\(a+b\sqrt{3}=0 \land b \neq 0\)について.
\(\displaystyle \sqrt{3}=-\frac{a}{b}\)と変形できますが,仮定により\(\sqrt{3}\)は無理数なので,無理数=有理数となり,不合理.

次に\(a+b\sqrt{3}=0 \land a \neq 0\)について.
上と同様の方針で考えると,\(\displaystyle \frac{b}{a}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}\)となるが,これも無理数(※)=有理数となり,やはり不合理.

よって,どちらも偽の命題となるので,\((\ast\ast)\)は偽,すなわち\((\ast)\)は偽である.したがってもとの命題は真である.

証明終

注意
上の証明の(※)において,「\(-\frac{1}{3}\sqrt{3}\)は無理数」と判断しましたが,\(\text{無理数}\times\text{有理数}=\text{無理数}\)であることは念のため確認が必要です。しかしこれは明らかでしょう。実際,\(\text{無理数}\times\text{有理数}=\text{有理数}\)が成り立つと仮定すれば,両辺を左辺の有理数で割ることで\(\text{無理数}=\frac{\text{有理数}}{\text{有理数}}\)が得られますが,これは矛盾です。

…では,模範解答の「\(b\neq 0\)とすると~」は一体何をしているのでしょうか?

証明(その2)

示すべきことは
\begin{align}
&a+b\sqrt{3}=0 \Longrightarrow a=0 \land b=0\\
\Longleftrightarrow~ &\overline{a+b\sqrt{3}=0} \lor (a=0 \land b=0)&(\Rightarrow \text{の定義})\\
\Longleftrightarrow~ &\left(\overline{a+b\sqrt{3}=0} \lor a=0\right) \land \left(\overline{a+b\sqrt{3}=0}\lor b=0\right)&(\text{分配法則})\\
\Longleftrightarrow~ &\left(a+b\sqrt{3}=0 \Rightarrow a=0\right) \land \left(a+b\sqrt{3}=0 \Rightarrow b=0\right)&(\Rightarrow \text{の定義})\\
\end{align}である.前半と後半を別々に示すことする.まず,後者の\[a+b\sqrt{3}=0 \Rightarrow b=0\tag{2}\]を示す.この命題を否定すれば\[a+b\sqrt{3}=0 \land b \neq 0\]となるが,これは不合理である(上と同様,詳細は割愛).したがって\(b=0\)を得る.

次に前半の\[a+b\sqrt{3}=0 \Rightarrow a=0 \tag{1}\]を示す.\(a+b\sqrt{3}=0\)と仮定する.先の議論により\(b=0\)であったから,これを代入すると\[a+0\cdot \sqrt{3}=0\Longleftrightarrow a=0\]となり,\(a=0\)を得る.したがって\(a+b\sqrt{3}=0 \Rightarrow a=0\)である.\((1),(2)\)により,\(a+b\sqrt{3}=0 \Longrightarrow a=0 \land b=0\)が示された.

証明終

すなわち,\((2)\)は背理法で証明し,一方\((1)\)は仮定から結論を導くという素直な方法で証明した,という流れでしょう。その\((2)\)での背理法において,「\(b\neq 0\)とすると」が出てくるわけですね。

あるいは,「\(a+b\sqrt{3}=0\)ならば\(b=0\)」は,問題文の命題と同値なので,この命題を否定して背理法を考えた,とも考えられます.実際,

\[
\begin{align}
&a+b\sqrt{3}=0 \Rightarrow b=0 \\
\Longleftrightarrow~ &a+b\sqrt{3}=0 \Rightarrow a+b\sqrt{3}=0 \land b=0\\
\Longleftrightarrow~ &a+b\sqrt{3}=0 \Rightarrow a=0 \land b=0
\end{align}
\]

まあいずれにしても,ならば(含意)の否定というものを学んでいない以上,上のような証明は作りようがない。いきなり「\(b \neq 0\)とする」なんて言われても納得しようがないし,安易に納得してはいけない。ちなみにこの解答の脚注にはこんな一言が載っています。「結論が\(p\)かつ\(q\)という命題を背理法を用いて証明するときは\(\overline{p}\)または\(\overline{q}\)のみを仮定して矛盾を導けばよい」…でもその理由は?理由が書いてない以上それ「覚える」しかないよね?それって数学なの??っていう。

まあ,ある程度はブラックボックス化するのはやむを得ないとはいえ,ここは端折るところではないのでは…と思う。さもなければそもそも\(P\Rightarrow Q \land R\)なんて命題の証明なんて取り扱わないで欲しい。生徒に説明するとき誤魔化すハメになりほんと迷惑。